Para que valores reais de m a equação 2^{x}+2^{-x}=m admite pelo menos uma raiz real ? (2pt)

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar para quais valores reais de m a equação
2^{x}+2^{-x}=m
tem pelo menos uma solução real x.
Informações dadas:
  • A incógnita é x, que varia em todos os reais.
  • O parâmetro m é um número real e devemos achar o conjunto de valores de m para os quais existe x\in\mathbb{R} satisfazendo a equação.
  • A expressão envolve potências de base 2: 2^{x} e 2^{-x}.

Passo 2

Primeira ideia fácil e muito útil: faça a substituição
t=2^{x}.
Explicação da substituição: como 2^{x} é sempre positivo para todo x\in\mathbb{R}, temos t>0. A vantagem dessa substituição é transformar a equação exponencial em uma equação racional/algebraica.
Substituindo na equação obtemos
t+\frac{1}{t}=m,\qquad t>0.

Passo 3

Vamos analisar a função
g(t)=t+\frac{1}{t},\qquad t>0.
Queremos saber quais valores m essa função atinge, porque m=g(t).
Mini-aula: desigualdade AM-GM (muito prática aqui). Para dois números positivos a e b vale
\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab},
com igualdade se e somente se a=b. Aplicando com a=t e b=\dfrac{1}{t} (ambos positivos), temos
\frac{t+\dfrac{1}{t}}{2}\ge\sqrt{t\cdot\dfrac{1}{t}}=\sqrt{1}=1.
Multiplicando por 2,
t+\frac{1}{t}\ge 2,
com igualdade quando t=\dfrac{1}{t}, isto é, quando t=1.
Conclusão desta etapa: para todo t>0 temos g(t)=t+\dfrac{1}{t}\ge 2. Portanto, se m é um valor assumido por g, deve satisfazer m\ge 2.

Passo 4

Mostrando que todos os m\ge 2 realmente ocorrem (existem soluções) e descrevendo quantas soluções existem.
Forma algébrica: multiplique a equação por t e obtenha a equação quadrática em t:
t^{2}-mt+1=0.
Para essa quadrática ter raízes reais precisamos de discriminante não negativo:
\Delta = m^{2}-4\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad |m|\ge 2.
As raízes são
t=\frac{m\pm\sqrt{m^{2}-4}}{2}.
Mas lembre que precisamos de t>0. Analisando:
  • Se m\ge 2, então \Delta\ge 0 e as duas raízes são positivas (produto das raízes é 1>0 e soma m>0), logo existem valores t>0 que satisfazem a equação. Assim, para cada m>2 obtemos duas raízes distintas em t (recíprocas entre si), que correspondem a dois valores de x simétricos: x e -x. Para m=2 a equação tem raiz dupla t=1, que dá x=0.
  • Se m<2, a desigualdade do Passo 3 mostra que não pode existir t>0 tal que t+\dfrac{1}{t}=m. Em particular, embora \Delta possa ser \ge 0 para m\le -2, esses valores não correspondem a soluções com t>0 porque t+\dfrac{1}{t} nunca é negativo (na verdade sempre \ge 2). Portanto descartamos m<2.
Resumo das possibilidades:
  • m=2 → existe exatamente uma solução real x=0.
  • m>2 → existem duas soluções reais (opostas entre si).
  • m<2 → nenhuma solução real.

Passo 5

Verificação do comportamento nas extremidades (mini-checagem intuitiva): quando x\to+\infty temos 2^{x}\to+\infty e 2^{-x}\to 0, então 2^{x}+2^{-x}\to+\infty. Quando x\to-\infty o mesmo vale (pela simetria): vai para +\infty. No meio o valor mínimo ocorre em x=0 e é 2. Isso confirma que a imagem da função x\mapsto 2^{x}+2^{-x} é [2,+\infty).

Resposta

m\ge 2

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