Para que valores reais de
a equação
admite pelo menos uma raiz real ? (2pt)
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar para quais valores reais de
a equação
tem pelo menos uma solução real
.
Informações dadas:
- A incógnita é
, que varia em todos os reais. - O parâmetro
é um número real e devemos achar o conjunto de valores de para os quais existe satisfazendo a equação. - A expressão envolve potências de base
: e .
Passo 2
Primeira ideia fácil e muito útil: faça a substituição
Explicação da substituição: como
é sempre positivo para todo
, temos
. A vantagem dessa substituição é transformar a equação exponencial em uma equação racional/algebraica.
Substituindo na equação obtemos
Passo 3
Vamos analisar a função
Queremos saber quais valores
essa função atinge, porque
.
Mini-aula: desigualdade AM-GM (muito prática aqui). Para dois números positivos
e
vale
com igualdade se e somente se
. Aplicando com
e
(ambos positivos), temos
Multiplicando por
,
com igualdade quando
, isto é, quando
.
Conclusão desta etapa: para todo
temos
. Portanto, se
é um valor assumido por
, deve satisfazer
.
Passo 4
Mostrando que todos os
realmente ocorrem (existem soluções) e descrevendo quantas soluções existem.
Forma algébrica: multiplique a equação por
e obtenha a equação quadrática em
:
Para essa quadrática ter raízes reais precisamos de discriminante não negativo:
As raízes são
Mas lembre que precisamos de
. Analisando:
- Se
, então e as duas raízes são positivas (produto das raízes é e soma ), logo existem valores que satisfazem a equação. Assim, para cada obtemos duas raízes distintas em (recíprocas entre si), que correspondem a dois valores de simétricos: e . Para a equação tem raiz dupla , que dá . - Se
, a desigualdade do Passo 3 mostra que não pode existir tal que . Em particular, embora possa ser para , esses valores não correspondem a soluções com porque nunca é negativo (na verdade sempre ). Portanto descartamos .
Resumo das possibilidades:
-
→ existe exatamente uma solução real . -
→ existem duas soluções reais (opostas entre si). -
→ nenhuma solução real.
Passo 5
Verificação do comportamento nas extremidades (mini-checagem intuitiva): quando
temos
e
, então
. Quando
o mesmo vale (pela simetria): vai para
. No meio o valor mínimo ocorre em
e é
. Isso confirma que a imagem da função
é
.