Desenvolva aplicando as propriedades dos logaritmos: (2pt)
\log _{2} \sqrt{\frac{4 a \sqrt{a b}}{b \sqrt[3]{a^{2} b^{-2}}}}

Passo 1

O enunciado pede que a gente “desenvolva aplicando as propriedades dos logaritmos” a expressão
\log_{2}\sqrt{\frac{4a\sqrt{ab}}{b\sqrt[3]{a^{2}b^{-2}}}}.
Informações dadas e objetivo: temos uma expressão dentro de um logaritmo de base \,2 que contém raízes (radicais) e potências com variáveis a e b. Queremos reescrever essa expressão usando as propriedades dos logaritmos (transformar produtos em somas, potências em coeficientes, etc.) até obter uma forma simples em termos de \log_{2}(a) e \log_{2}(b).

Passo 2

Primeiro passo prático: transformar todas as raízes em potências com expoentes fracionários. Lembre-se: a raiz quadrada corresponde a potência \,1/2 e a raiz cúbica a \,1/3. Assim reescrevemos o que está dentro do logaritmo como potências:
\sqrt{\frac{4a\sqrt{ab}}{b\sqrt[3]{a^{2}b^{-2}}}} = \left(\frac{4a (ab)^{1/2}}{b (a^{2}b^{-2})^{1/3}}\right)^{1/2}.
Aqui usei a regra \sqrt{X} = X^{1/2}, \sqrt[3]{Y} = Y^{1/3} e \sqrt{ab}=(ab)^{1/2}.

Passo 3

Agora simplifico o numerador e o denominador antes de aplicar a potência externa (\cdot)^{1/2}. Vou separar fatores e usar que (xy)^r=x^r y^r e que x^m x^n = x^{m+n}.
Numerador:
4a (ab)^{1/2} = 4 \cdot a \cdot a^{1/2} b^{1/2} = 4 \cdot a^{1 + 1/2} \cdot b^{1/2} = 4 \cdot a^{3/2} \cdot b^{1/2}.
Denominador:
b (a^{2}b^{-2})^{1/3} = b \cdot a^{2/3} \cdot b^{-2/3} = a^{2/3} \cdot b^{1 + (-2/3)} = a^{2/3} \cdot b^{1/3}.
Aqui usei (a^{2}b^{-2})^{1/3} = a^{2/3} b^{-2/3} e depois somei os expoentes de b: 1 + (-2/3)=1/3.

Passo 4

Divido numerador por denominador combinando potências (regra x^m / x^n = x^{m-n}):
\frac{4 a^{3/2} b^{1/2}}{a^{2/3} b^{1/3}} = 4 \cdot a^{\,3/2 - 2/3} \cdot b^{\,1/2 - 1/3}.
Calculemos os expoentes com denominador comum 6:
3/2 - 2/3 = \frac{9}{6} - \frac{4}{6} = \frac{5}{6}, \qquad 1/2 - 1/3 = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}.
Portanto a fração simplificada é
4 \cdot a^{5/6} \cdot b^{1/6}.

Passo 5

Agora aplicamos a raiz externa (\cdot)^{1/2} a esse resultado. Lembre-se que (x^m)^n = x^{mn} e que (xy)^r = x^r y^r. Assim:
\left(4 \cdot a^{5/6} \cdot b^{1/6}\right)^{1/2} = 4^{1/2} \cdot a^{(5/6)\cdot(1/2)} \cdot b^{(1/6)\cdot(1/2)}.
Calcule os produtos dos expoentes:
4^{1/2} = 2,\qquad (5/6)\cdot(1/2)=5/12,\qquad (1/6)\cdot(1/2)=1/12.
Logo a expressão dentro do logaritmo vira
2 \cdot a^{5/12} \cdot b^{1/12}.

Passo 6

Agora aplicamos o logaritmo de base \,2. Use as propriedades:
  • \log_{2}(xy)=\log_{2}x+\log_{2}y,
  • \log_{2}(x^{r}) = r\,\log_{2}x,
  • \log_{2}(2)=1.
Então
\log_{2}\bigl(2 \cdot a^{5/12} \cdot b^{1/12}\bigr) = \log_{2}(2) + \log_{2}\bigl(a^{5/12}\bigr) + \log_{2}\bigl(b^{1/12}\bigr).
Aplicando \log_{2}(x^{r})=r\log_{2}(x) e \log_{2}(2)=1, obtemos
1 + \frac{5}{12}\log_{2}(a) + \frac{1}{12}\log_{2}(b).

Passo 7

Podemos deixar a resposta nessa forma (já é a forma desenvolvida pedida). Se quiser, fatoramos 1/12 para ficar mais compacto:
1 + \frac{1}{12}\bigl(5\log_{2}(a) + \log_{2}(b)\bigr),
mas ambas as formas são equivalentes.

Resposta

1 + \frac{5}{12}\log_{2}(a) + \frac{1}{12}\log_{2}(b)

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