Desenvolva aplicando as propriedades dos logaritmos: (2pt)
Passo 1
O enunciado pede que a gente “desenvolva aplicando as propriedades dos logaritmos” a expressão
Informações dadas e objetivo: temos uma expressão dentro de um logaritmo de base
que contém raízes (radicais) e potências com variáveis
e
. Queremos reescrever essa expressão usando as propriedades dos logaritmos (transformar produtos em somas, potências em coeficientes, etc.) até obter uma forma simples em termos de
e
.
Passo 2
Primeiro passo prático: transformar todas as raízes em potências com expoentes fracionários. Lembre-se: a raiz quadrada corresponde a potência
e a raiz cúbica a
. Assim reescrevemos o que está dentro do logaritmo como potências:
Aqui usei a regra
,
e
.
Passo 3
Agora simplifico o numerador e o denominador antes de aplicar a potência externa
. Vou separar fatores e usar que
e que
.
Numerador:
Denominador:
Aqui usei
e depois somei os expoentes de
:
.
Passo 4
Divido numerador por denominador combinando potências (regra
):
Calculemos os expoentes com denominador comum
:
Portanto a fração simplificada é
Passo 5
Agora aplicamos a raiz externa
a esse resultado. Lembre-se que
e que
. Assim:
Calcule os produtos dos expoentes:
Logo a expressão dentro do logaritmo vira
Passo 6
Agora aplicamos o logaritmo de base
. Use as propriedades:
-
, -
, -
.
Então
Aplicando
e
, obtemos
Passo 7
Podemos deixar a resposta nessa forma (já é a forma desenvolvida pedida). Se quiser, fatoramos
para ficar mais compacto:
mas ambas as formas são equivalentes.