Desenvolva o binômio \left(x+\frac{a}{x}\right)^{6}. Sabendo que o valor do coeficiente do termo x^{4} é 12,0 valor de a é dado por:
a) 6
b) 1
c) 2
d) 12
e) 4

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver o binômio
\bigl(x+\tfrac{a}{x}\bigr)^{6}
e, em seguida, determinar o valor de a tal que o coeficiente do termo x^{4} seja 12. Vamos usar o Teorema de Newton (binomial) e igualar expoentes para achar o termo desejado.

Passo 2

Pelo Teorema de Newton,
\bigl(x+\tfrac{a}{x}\bigr)^{6} =\sum_{k=0}^{6}\binom{6}{k}\,x^{6-k}\bigl(\tfrac{a}{x}\bigr)^{k}.
Cada termo fica
\binom{6}{k}\,a^{k}\,x^{6-k-k} =\binom{6}{k}\,a^{k}\,x^{6-2k}.

Passo 3

Para obter o termo em x^{4}, igualamos o expoente:
6-2k=4 \quad\Longrightarrow\quad k=1.

Passo 4

O coeficiente associado a k=1 é
\binom{6}{1}\,a^{1}=6a.
Como esse coeficiente deve valer 12, temos
6a=12 \quad\Longrightarrow\quad a=2.

Resposta

c) 2

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