O polinômio P(x)=x^{3}+K x^{2}-6 x-8 possui uma raiz igual a -4 . Determine a soma das outras duas raízes deste polinômio.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
P(x)=x^{3}+Kx^{2}-6x-8
e diz que uma das raízes é x=-4. Queremos a soma das outras duas raízes. Para resolver, vamos (1) usar a condição de que -4 anula P(x) para achar K e (2) aplicar a fórmula de Viète para a soma das raízes.

Passo 2

Como -4 é raiz, temos P(-4)=0. Calculando:
P(-4)=(-4)^{3}+K(-4)^{2}-6(-4)-8=-64+16K+24-8=16K-48.
Logo,
16K-48=0\quad\Longrightarrow\quad K=3.

Passo 3

Pela fórmula de Viète, se as raízes são r_{1},r_{2},r_{3}, então
r_{1}+r_{2}+r_{3}=-\text{(coeficiente de }x^{2})=-K=-3.
Sabendo que r_{1}=-4, a soma das outras duas raízes é
r_{2}+r_{3}=(-3)-(-4)=1.

Resposta

A soma das outras duas raízes é 1.

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