O polinômio f(x)=x^{5}-x^{3}+x^{2}+1, quando dividido por d(x)=x^{3}-3 x+2, deixa um resto r(x). O valor numérico de r(-1) é:
a) 0
b) 10
c) -10
d) -4
e) 4

Passo 1

O enunciado pede o resto r(x) da divisão de
f(x)=x^{5}-x^{3}+x^{2}+1
por
d(x)=x^{3}-3x+2,
e, em seguida, o valor numérico de r(-1). O conteúdo envolvido é divisão de polinômios e uso das raízes (com multiplicidade) de d(x) para determinar o resto, que tem grau menor que \deg d=3.

Passo 2

Como \deg r<3, escrevemos
r(x)=ax^2+bx+c.
Fatoramos o divisor para encontrar suas raízes e multiplicidades:
x^{3}-3x+2 = (x-1)^2\,(x+2).
Isso dá as condições
  1. r(1)=f(1) e
  2. r'(1)=f'(1) (porque x=1 é raiz dupla),
  3. r(-2)=f(-2) (raiz simples em x=-2).

Passo 3

Calculamos os valores de f e f' necessários:
f(1)=1^5-1^3+1^2+1 = 1-1+1+1 = 2,
f'(x) = 5x^4-3x^2+2x,\quad f'(1)=5-3+2 = 4,
f(-2)=(-2)^5-(-2)^3+(-2)^2+1 = -32+8+4+1 = -19.
As condições viram o sistema
\begin{cases} r(1)=a+b+c = 2,\\\ r'(1)=2a+b = 4,\\\ r(-2)=4a-2b+c = -19. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação b=4-2a.
Substituindo na primeira:
a+(4-2a)+c=2 \;\Longrightarrow\; -a+4+c=2\;\Longrightarrow\; c=a-2.
Na terceira:
4a-2(4-2a)+(a-2)=-19 \;\Longrightarrow\;4a-8+4a+a-2=-19 \;\Longrightarrow\;9a-10=-19 \;\Longrightarrow\;a=-1.
Então b=4-2(-1)=6 e c=-1-2=-3. Logo
r(x)=-x^2+6x-3.

Passo 5

Finalmente,
r(-1) = -(-1)^2 + 6(-1) - 3 = -1 -6 -3 = -10.

Resposta

-10 (alternativa c)

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