Se \left(x-\frac{1}{x}\right)^{2}=3, então x^{2}+\frac{1}{x^{2}} é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 5
e) 6

Passo 1

O enunciado dá a equação
\left(x - \frac{1}{x}\right)^{2} = 3
e pede para encontrar o valor de
x^{2} + \frac{1}{x^{2}}.
O conteúdo aqui é usar a identidade de expansão do quadrado de uma diferença e depois isolar a soma x^{2} + \tfrac{1}{x^{2}}.

Passo 2

Expandindo o quadrado, temos
\left(x - \frac{1}{x}\right)^{2} = x^{2} - 2\cdot x\cdot\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} = x^{2} - 2 + \frac{1}{x^{2}}.
Pela hipótese, isso é igual a 3, logo
x^{2} - 2 + \frac{1}{x^{2}} = 3.

Passo 3

Basta isolar x^{2} + \tfrac{1}{x^{2}}. Somando 2 em ambos os lados, obtemos
x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 3 + 2 = 5.

Resposta

5 (alternativa d) )

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