Fatore os polinômios abaixo em termos das suas raízes (reais ou complexas):
p(x)=x^3+x-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fatorar o polinômio p(x) = x^3 + x - 2 em termos das suas raízes, que podem ser reais ou complexas. Isso significa que vamos encontrar os valores de x que fazem p(x) = 0 . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra relacionados a polinômios e suas raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar encontrar uma raiz real do polinômio. Uma maneira prática de fazer isso é usar o Teorema do Racional, que nos diz que possíveis raízes racionais de um polinômio são fatores do termo constante divididos pelos fatores do coeficiente líder. No nosso caso, o termo constante é -2 e o coeficiente líder é 1. Então, as possíveis raízes racionais são pm1 e pm2 .

Passo 3

Agora, vamos testar essas possíveis raízes substituindo-as na equação p(x) = 0 :
  • Para x = 1 :
p(1) = (1)^3 + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0
Como p(1) = 0 , x = 1 é uma raiz do polinômio.

Passo 4

Sabendo que x = 1 é uma raiz, podemos fatorar p(x) como (x - 1) multiplicado por um polinômio de segundo grau. Para encontrar esse polinômio, vamos usar a divisão polinomial ou a divisão sintética. Vamos dividir p(x) por (x - 1) :
x^3 + x - 2 div (x - 1) = x^2 + x + 2
Então, temos:
p(x) = (x - 1)(x^2 + x + 2)

Passo 5

Agora, precisamos fatorar o polinômio de segundo grau x^2 + x + 2 . Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara, que nos ajuda a encontrar as raízes de uma equação quadrática ax^2 + bx + c = 0 :
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aplicando os valores:
a = 1, b = 1, c = 2
De<a = b^2 - 4ac = 1 - 8 = -7
Como o discriminante De<a é negativo, as raízes serão números complexos. Calculamos:
x = -1 pm raiz-72 = -1 pm iraiz72

Passo 6

Com as raízes encontradas, podemos escrever o polinômio de segundo grau fatorado da seguinte maneira:
x^2 + x + 2 = (x - (-1 + iraiz72))(x - (-1 - iraiz72))
Simplificando:
x^2 + x + 2 = (x + 12 - iraiz72)(x + 12 + iraiz72)

Resposta

Fatorando o polinômio p(x) = x^3 + x - 2 em termos das suas raízes, temos:
p(x) = (x - 1)(x + 12 - iraiz72)(x + 12 + iraiz72)

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