Fatore os polinômios abaixo em termos das suas raízes (reais ou complexas):
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fatorar o polinômio
em termos das suas raízes, que podem ser reais ou complexas. Isso significa que vamos encontrar os valores de
que fazem
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra relacionados a polinômios e suas raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar encontrar uma raiz real do polinômio. Uma maneira prática de fazer isso é usar o Teorema do Racional, que nos diz que possíveis raízes racionais de um polinômio são fatores do termo constante divididos pelos fatores do coeficiente líder. No nosso caso, o termo constante é -2 e o coeficiente líder é 1. Então, as possíveis raízes racionais são
e
.
Passo 3
Agora, vamos testar essas possíveis raízes substituindo-as na equação
:
- Para
:
Como
,
é uma raiz do polinômio.
Passo 4
Sabendo que
é uma raiz, podemos fatorar
como
multiplicado por um polinômio de segundo grau. Para encontrar esse polinômio, vamos usar a divisão polinomial ou a divisão sintética. Vamos dividir
por
:
Então, temos:
Passo 5
Agora, precisamos fatorar o polinômio de segundo grau
. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara, que nos ajuda a encontrar as raízes de uma equação quadrática
:
Aplicando os valores:
Como o discriminante
é negativo, as raízes serão números complexos. Calculamos:
Passo 6
Com as raízes encontradas, podemos escrever o polinômio de segundo grau fatorado da seguinte maneira:
Simplificando:
Resposta
Fatorando o polinômio
em termos das suas raízes, temos: