Fatore os polinômios abaixo em termos das suas raízes (reais ou complexas):
p(x)=x^3+x^2+x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para fatorar o polinômio p(x) = x^3 + x^2 + x em termos das suas raízes, que podem ser reais ou complexas. O conteúdo que vamos usar aqui é da álgebra, especificamente sobre fatoração de polinômios e uso da fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes. Vamos precisar identificar fatores comuns e aplicar a resolução de equações de segundo grau quando necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos observar se o polinômio tem algum fator em comum. Olhando para p(x) = x^3 + x^2 + x , percebemos que todos os termos têm o fator x . Então, podemos fatorar esse x :
p(x) = x(x^2 + x + 1)

Passo 3

Agora, precisamos fatorar o polinômio quadrático que ficou dentro dos parênteses: x^2 + x + 1 . Para isso, vamos usar a fórmula de Bhaskara, que nos ajuda a encontrar as raízes de uma equação do segundo grau ax^2 + bx + c = 0 . As raízes são dadas por:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a

Passo 4

Aplicando a fórmula de Bhaskara ao nosso polinômio x^2 + x + 1 , identificamos que a = 1 , b = 1 e c = 1 . Calculando o discriminante ( De<a ):
De<a = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 cdot 1 cdot 1 = 1 - 4 = -3
Como o discriminante é negativo ( De<a = -3 ), sabemos que as raízes são complexas. Vamos então encontrar essas raízes:
x = -1 pm raiz-32 cdot 1 = -1 pm iraiz32

Passo 5

Com as raízes encontradas, podemos escrever o polinômio quadrático em termos de suas raízes. Se as raízes são r1 = -1 + iraiz32 e r2 = -1 - iraiz32 , então:
x^2 + x + 1 = (x - -1 + iraiz32)(x - -1 - iraiz32)

Resposta

Portanto, a fatoração do polinômio p(x) = x^3 + x^2 + x em termos das suas raízes é:
p(x) = x ( x - -1 + iraiz32 ) ( x - -1 - iraiz32 )

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