Desenvolva cada uma das integrais indefinidas abaixo, pelo método de integração de funções racionais por frações parciais
Passo 1
O enunciado pede a integral
e sugere usar frações parciais. Vamos lembrar que, quando temos uma função racional cujos fatores do denominador são lineares distintos, podemos escrever o integrando como soma de termos da forma e depois integrar cada termo por logaritmo.
Passo 2
Primeiro fatoramos o denominador:
Logo buscamos constantes , e tais que
Multiplicando ambos os lados por obtemos a identidade polinomial
Passo 3
Expandindo e coletando termos em
Comparando com , o coeficiente de é zero, de é e o termo constante é . Assim o sistema é
Da terceira equação vem (A = -\tfrac12]. Substituindo em
Somando as duas últimas equações: , e então .
Portanto
Passo 4
Agora integramos termo a termo:
I = integrall(-tfrac12,1xr)dx + integral1x-1,dx + integrall(-tfrac12,1x+2r)dx
Cada integral é logarítmica:
I = -tfrac12lnlvert xrvert + lnlvert x-1rvert -tfrac12lnlvert x+2rvert + C
Podemos deixar assim ou agrupar os logaritmos.
Resposta
I = -tfrac12lnlvert xrvert + lnlvert x-1rvert -tfrac12lnlvert x+2rvert + C