Desenvolva cada uma das integrais indefinidas abaixo, pelo método de integração de funções racionais por frações parciais
I=integral 2 x+1x^3+x^2-2 x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral
I = integral 2x+1x^3+x^2-2x,dx
e sugere usar frações parciais. Vamos lembrar que, quando temos uma função racional cujos fatores do denominador são lineares distintos, podemos escrever o integrando como soma de termos da forma A/(x-alpha) e depois integrar cada termo por logaritmo.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
x^3+x^2-2x = x,(x^2+x-2) = x,(x+2),(x-1)
Logo buscamos constantes A, B e C tais que
2x+1x,(x+2),(x-1) = Ax + Bx-1 + Cx+2
Multiplicando ambos os lados por x(x+2)(x-1) obtemos a identidade polinomial
2x+1 = A,(x-1)(x+2) + B,x(x+2) + C,x(x-1)

Passo 3

Expandindo e coletando termos em
Comparando com , o coeficiente de é zero, de é e o termo constante é . Assim o sistema é
Da terceira equação vem (A = -\tfrac12]. Substituindo em
Somando as duas últimas equações: , e então .
Portanto

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
I = integrall(-tfrac12,1xr)dx + integral1x-1,dx + integrall(-tfrac12,1x+2r)dx
Cada integral é logarítmica:
I = -tfrac12lnlvert xrvert + lnlvert x-1rvert -tfrac12lnlvert x+2rvert + C
Podemos deixar assim ou agrupar os logaritmos.

Resposta

I = -tfrac12lnlvert xrvert + lnlvert x-1rvert -tfrac12lnlvert x+2rvert + C

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