Desenvolva cada uma das integrais indefinidas abaixo, pelo método de integração de funções racionais por frações parciais
I=integral x^3-5 x^2-x-22x^2+3 x-10 d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
I = integral x^3-5x^2-x-22x^2+3x-10,dx
que é uma função racional. Para resolvê-la usaremos divisão de polinômios (para separar parte polinômica) seguida de decomposição em frações parciais para a parte própria.

Passo 2

Fazemos a divisão de x^3-5x^2-x-22 por x^2+3x-10:
x^3-5x^2-x-22x^2+3x-10 = x - 8 + 33x - 102x^2+3x-10
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I = integral l(x - 8r),dx ;+;integral 33x - 102x^2+3x-10,dx

Passo 3

Fatoramos o denominador:
x^2+3x-10 = (x+5)(x-2)
Procuramos constantes A e B tais que
33x-102(x+5)(x-2) = Ax+5 + Bx-2
Temos
33x-102 = A(x-2) + B(x+5) = (A+B)x + (-2A+5B)
Igualando coeficientes:
A + B = 33, -2A + 5B = -102,
cuja solução é
A = 2677, B = -367

Passo 4

Substituindo na integral restante:
integral 33x-102x^2+3x-10,dx = 2677integral dxx+5 ;-;367integral dxx-2 = 2677lnlvert x+5rvert -367lnlvert x-2rvert + C
E a parte polinômica integra para
integral (x-8),dx = x^22 - 8x + C

Resposta

I = x^22 - 8x + 2677lnlvert x+5rvert - 367lnlvert x-2rvert + C

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