Desenvolva cada uma das integrais indefinidas abaixo, pelo método de integração de funções racionais por frações parciais
I=integral x^2x^2-x-6 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
I=integral x^2x^2-x-6,dx
pelo método de frações parciais. Como o grau do numerador é igual ao do denominador, vamos primeiro fazer divisão polinomial e depois decompor em frações simples.

Passo 2

Realizamos a divisão de ,x^2 por ,x^2-x-6:
x^2 = 1cdot(x^2-x-6) + (x+6)
Logo,
x^2x^2-x-6 =1 + x+6x^2-x-6,
e a integral se separa em
I = integral 1,dx ;+;integral x+6x^2-x-6,dx

Passo 3

Fatoramos o denominador do segundo termo:
x^2-x-6=(x-3)(x+2)
Então procuramos constantes A e B tais que
x+6(x-3)(x+2) =Ax-3+Bx+2

Passo 4

Multiplicando em ambos os lados por
Isto gera o sistema
Resolvendo, vem . Assim

Passo 5

Substituindo na integral completa:
I = integral 1,dx + 95integral 1x-3,dx - 45integral 1x+2,dx
Integrando cada termo:
integral 1,dx = x, integral 1x-3,dx = lnl|x-3r|, integral 1x+2,dx = lnl|x+2r|
Portanto,
I = x + 95ln!l|x-3r| - 45ln!l|x+2r| + C

Resposta

boxed,I = x + 95ln!l|x-3r| - 45ln!l|x+2r| + C,

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