Determine todos os números z in C tais que z^n=w (raízes n-ésimas de w ) para os valores abaixo de n e w :
n=2, w=-1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os complexos z tais que
z^n=w
para n=2 e w=-1.
O conteúdo necessário é transformar w em forma polar e usar a fórmula de De Moivre para raízes n-ésimas de números complexos.

Passo 2

Escrevemos w=-1 em forma polar. Como lvert -1rvert=1 e um argumento principal de -1 é pi, temos
-1 = e^ipi

Passo 3

A fórmula geral para as raízes n-ésimas de um complexo re^itheta é
zk = r^1/n,e^,i(theta + 2pi k)/n, k=0,1,dots,n-1

Passo 4

Aqui r=1, theta=pi e n=2. Logo
zk = 1^1/2,e^,i(pi + 2pi k)/2 = e^,i(pi/2 + pi k), k=0,1
Para k=0:
z0 = e^,ipi/2 = i
Para k=1:
z1 = e^,i3pi/2 = -,i

Resposta

As raízes quadradas de -1 são
z = i e z = -,i

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