Desenvolva cada uma das integrais indefinidas abaixo, pelo método de integração de funções racionais por frações parciais
I=integral 3 x^2+4 x+2x^3+2 x^2+x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
I = integral 3x^2+4x+2x^3+2x^2+x,dx
pelo método de frações parciais. Vamos fatorar o denominador, decompor a fração em parcelas simples e integrar cada parte. O conteúdo é integração de funções racionais por frações parciais.

Passo 2

Fatoramos o denominador para identificar as raízes e suas multiplicidades:
x^3+2x^2+x = x,(x^2+2x+1) = x,(x+1)^2

Passo 3

Procuramos constantes A, B e C tais que
3x^2+4x+2x,(x+1)^2 = Ax + Bx+1 + C(x+1)^2
Multiplicando ambos os lados por x,(x+1)^2, fica
3x^2+4x+2 = A,(x+1)^2 + B,x,(x+1) + C,x

Passo 4

Expandindo o lado direito:
Comparando com
Logo e .

Passo 5

Substituindo, a integral vira
I = integral l(2x + 1x+1 - 1(x+1)^2r),dx
Agora integramos termo a termo:
integral 2x,dx = 2lnlvert xrvert
integral 1x+1,dx = lnlvert x+1rvert
integral -1(x+1)^2,dx = 1x+1

Passo 6

Somando os resultados anteriores, concluímos
I = 2lnlvert xrvert + lnlvert x+1rvert + 1x+1 + C

Resposta

I = 2lnlvert xrvert + lnlvert x+1rvert + 1x+1 + C

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