Desenvolva cada uma das integrais indefinidas abaixo, pelo método de integração de funções racionais por frações parciais
I=integral 8 x^2+3 x+20x^3+x^2+4 x+4 d x

Passo 1

O enunciado pede
I = integral 8x^2 + 3x + 20x^3 + x^2 + 4x + 4,dx
e o método indicado é o de frações parciais para funções racionais. Vamos precisar fatorar o denominador e escrever a decomposição parcial.

Passo 2

Fatoramos o denominador x^3+x^2+4x+4 por agrupamento:
x^3+x^2+4x+4 = x^2(x+1) + 4(x+1) = (x+1)(x^2+4)

Passo 3

Propondo a decomposição
8x^2+3x+20(x+1)(x^2+4) = Ax+1 + Bx + Cx^2+4,
multiplicamos ambos os lados por (x+1)(x^2+4) e obtemos
8x^2+3x+20 = A(x^2+4) + (Bx + C)(x+1)
Desenvolvendo e agrupando termos em x^2, x e constante, chegamos ao sistema
A + B = 8, B + C = 3, 4A + C = 20

Passo 4

Resolvendo o sistema:
A = 5, B = 3, C = 0
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8x^2+3x+20(x+1)(x^2+4) = 5x+1 + 3xx^2+4

Passo 5

Integramos cada parcela separadamente:
integral 5x+1,dx = 5lnl|x+1r|, integral 3xx^2+4,dx = 32lnl(x^2+4r)

Resposta

I = 5lnl|x+1r| + 32lnl(x^2+4r) + C

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