Determine todos os números z in C tais que z^n=w (raízes n-ésimas de w ) para os valores abaixo de n e w :
n=2, w=i

Passo 1

O enunciado pede as raízes quadradas de i, ou seja, encontrar todos os zinC tais que
z^2 = i
Para isso, vamos usar a representação polar dos números complexos e o Teorema de De Moivre.

Passo 2

Em geral, se w tem módulo r e argumento principal phi, suas raízes n-ésimas são dadas por
zk = raiz[n]r,expl[il(tfracphi+2pi knr)r], k=0,1,dots,n-1,
onde exp(itheta)=costheta + isintheta.

Passo 3

No nosso caso temos w=i, cujo módulo é lvert irvert=1 e argumento principal arg(i)=tfracpi2. Como n=2,
zk = 1^1/2,expl[il(tfractfracpi2+2pi k2r)r] =expl[il(tfracpi4 + pi kr)r]

Passo 4

Como k percorre os valores 0 e 1, as duas raízes são
z0 = expl(itfracpi4r) = tfracraiz22 + i,tfracraiz22,
z1 = expl(itfrac5pi4r) = -tfracraiz22 - i,tfracraiz22

Resposta

As raízes quadradas de i são
z = tfracraiz22 + i,tfracraiz22 e z = -tfracraiz22 - i,tfracraiz22

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