Desenvolva cada uma das integrais indefinidas abaixo, pelo método de integração de funções racionais por frações parciais
I=integral 4 x^2(x-1)^2 cdot(x^2-4 x+3) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = integral 4x^2(x-1)^2,l(x^2-4x+3r),dx
usando frações parciais. Aqui o conteúdo é integração de função racional: primeiro fatoramos o denominador, depois decompondo em frações simples, e por fim integramos termo a termo.

Passo 2

Fatoramos o polinômio quadrático do denominador:
x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)
Logo
(x-1)^2,(x^2-4x+3) = (x-1)^2,(x-1),(x-3) = (x-1)^3(x-3)

Passo 3

Propomos a decomposição em frações parciais adequada a pólos lineares repetidos:
4x^2(x-1)^3(x-3) = Ax-3 + Bx-1 + C(x-1)^2 + D(x-1)^3

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por
Para achar usamos :
Para determinar é conveniente escrever , de modo que . Então
Expandindo e comparando coeficientes de obtém-se o sistema
Como . Da última equação . Substituindo na segunda e terceira achamos .

Passo 5

Portanto a decomposição ficou
4x^2(x-1)^3(x-3) = tfrac92x-3 - tfrac92x-1 - 5(x-1)^2 - 2(x-1)^3

Passo 6

Agora integramos termo a termo:
I = integral 9/2x-3,dx - integral 9/2x-1,dx - 5integral (x-1)^-2,dx -2integral (x-1)^-3,dx
Calculando cada uma:
integral 9/2x-3,dx = 92lnlvert x-3rvert, integral 9/2x-1,dx = 92lnlvert x-1rvert,
integral (x-1)^-2,dx = -1x-1, integral (x-1)^-3,dx = -tfrac12,(x-1)^-2
Logo
I = 92lnlvert x-3rvert - 92lnlvert x-1rvert +5,1x-1 +1,1(x-1)^2 + C

Resposta

boxedI = 92ln!llvert x-3rrvert - 92ln!llvert x-1rrvert +5x-1 +1(x-1)^2 + C

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