Determine todos os números z in C tais que z^n=w (raízes n-ésimas de w ) para os valores abaixo de n e w :
n=3, w=2 i

Passo 1

O enunciado pede que a gente ache todos os números complexos z tais que
z^3 = w
com n=3 e w=2i. O conteúdo é encontrar raízes n-ésimas de um número complexo usando forma polar e o Teorema de De Moivre.

Passo 2

Primeiro, escrevemos na forma polar. O módulo é
e o argumento principal pode ser tomado como
pois está no eixo imaginário positivo.

Passo 3

Pelo Teorema de De Moivre, as soluções de vêm de
com . Como , temos

Passo 4

Calculemos os três argumentos
thetak = pi2 + 2pi k3 = pi6 + 2pi k3,
para k=0,1,2:
theta0 = pi6, theta1 = pi6 + 2pi3 = 5pi6, theta2 = pi6 + 4pi3 = 9pi6 = 3pi2
Logo as raízes são
z0 = 2^1/3e^ipi/6 = 2^1/3l(raiz32 + i2r),
z1 = 2^1/3e^i5pi/6 = 2^1/3l(-raiz32 + i2r),
z2 = 2^1/3e^i3pi/2 = 2^1/3(0 - i) = -,i,2^1/3

Resposta

As soluções de z^3=2i são
z = 2^1/3l(tfracraiz32 + tfraci2r), z = 2^1/3l(-tfracraiz32 + tfraci2r), z = -,i,2^1/3

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