Desenvolva cada uma das integrais indefinidas abaixo, pelo método de integração de funções racionais por frações parciais
I=integral x^4-x^3-3 x^2-x+2x^3+x^2-2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^4-x^3-3x^2-x+2x^3+x^2-2x,dx
usando o método de frações parciais. O conteúdo principal é decompor uma função racional em soma de termos mais simples para integrar.

Passo 2

Como o grau do numerador ( 4) é maior que o grau do denominador ( 3), fazemos divisão polinomial:
x^4-x^3-3x^2-x+2x^3+x^2-2x = x - 2 + x^2-5x+2x^3+x^2-2x
Observe que já isolamos um polinômio x-2 e restou a parte própria x^2-5x+2x(x+2)(x-1).

Passo 3

Fatoramos o denominador
x^3+x^2-2x = x,(x+2),(x-1)
e propomos a decomposição
x^2-5x+2x(x+2)(x-1) = Ax + Bx+2 + Cx-1

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por x(x+2)(x-1) obtemos
x^2-5x+2 = A(x+2)(x-1) + B,x(x-1) + C,x(x+2)
Expandindo e igualando coeficientes de x^2, x e termo constante, monta-se o sistema
A + B + C = 1, A - B + 2C = -5, -2A = 2,
cuja solução é
A = -1, B = 83, C = -23

Passo 5

Substituindo na integral e integrando termo a termo, temos
integrall(x-2r),dx = x^22-2x,
e para as frações parciais
integral -1x,dx = -lnlvert xrvert, integral 8/3x+2,dx = 83lnlvert x+2rvert, integral -2/3x-1,dx = -23lnlvert x-1rvert

Resposta

integral x^4-x^3-3x^2-x+2x^3+x^2-2x,dx = x^22 ;-;2x ;-;lnlvert xrvert ;+;83lnlvert x+2rvert ;-;23lnlvert x-1rvert + C

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