Determine todos os números z in C tais que z^n=w (raízes n-ésimas de w ) para os valores abaixo de n e w :
n=3, w=1+i

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os números complexos tais que
onde e . O conteúdo aqui é a busca pelas raízes cúbicas de um número complexo. Para resolver, vamos:
  1. escrever em forma polar;
  2. usar a fórmula geral das raízes -ésimas:

Passo 2

Calcular o módulo e o argumento principal de . Temos
e como está no primeiro quadrante,

Passo 3

Pela fórmula das raízes cúbicas, o módulo de cada raiz é
e os argumentos são

Passo 4

Escrevendo as raízes na forma trigonométrica, obtemos para k=0,1,2:
zk =2^1/6l[cos(tfracpi12+tfrac2pi k3) +i,sin(tfracpi12+tfrac2pi k3)r]

Resposta

boxed zk =2^1/6l(cosl(tfracpi12+tfrac2pi k3r) +i,sinl(tfracpi12+tfrac2pi k3r)r), k=0,1,2

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