Faça um esboço gráfico das regiões abaixo descritas e as classifique em aberta/fechada, limitada/ilimitada, conexa/desconexa:
Passo 1
O enunciado pede para representar graficamente a região
e classificar se ela é aberta, fechada, limitada e se é conexa. Vamos usar conceitos de análise em
: vizinhanças e inclusão de fronteiras para aberta/fechada, noções de raio máximo para limitada, e conectividade no plano complexo.
Passo 2
Esboço da região
: duas circunferências concêntricas de centro na origem, uma de raio
e outra de raio
. A região é o “anel” entre elas, sem incluir a circunferência interior (raio
) e incluindo a circunferência exterior (raio
).
Passo 3
Verificamos abertura/fechamento:
- Em torno de um ponto com
suficientemente próximo de existe vizinhança inteira em , mas pontos com bem próximos de não admitem vizinhança totalmente contida em porque a circunferência não pertence a . - A fronteira externa
está incluída, mas a interna está excluída.
Conclusão:não é aberto (pois não inclui toda fronteira interna) e não é fechado (pois não inclui toda fronteira de sua aderência, falta ).
Passo 4
Verificamos se é limitada:
Como para todo temos
, existe um raio máximo finito. Logo,
é limitada.
Como para todo
Passo 5
Verificamos conectividade:
O anel é uma região contínua sem “buracos” desconectados além do vazio interno. É possível ligar qualquer par de pontos de
por um caminho dentro de
. Assim,
é conexa.
O anel
Resposta
A região
é
não aberta
não fechada
limitada
conexa