Faça um esboço gráfico das regiões abaixo descritas e as classifique em aberta/fechada, limitada/ilimitada, conexa/desconexa:
Passo 1
O enunciado pede para desenhar a região
no plano complexo e então classificá-la em:
aberta ou fechada
limitada ou ilimitada
conexa ou desconexa
Conteúdo necessário: interpretação geométrica de desigualdades envolvendo a parte real de e noções básicas de topologia em
.
Conteúdo necessário: interpretação geométrica de desigualdades envolvendo a parte real de
Passo 2
Escrevendo
, a condição
equivale a
Isso define um cinturão vertical (uma faixa infinita) entre as retas
e
, sem incluir essas retas. Daí:
Como não temos pontos de fronteira (as retas
) em
, o conjunto é aberto.
A região se estende sem limite na direção imaginária (
), logo é ilimitada.
Entre quaisquer dois pontos na faixa existe um caminho contínuo que permaneça dentro dela (basta ir em linha reta ou em dois trechos), portanto é conexa.
Passo 3
Esboço gráfico (plano
- eixo real,
- eixo imaginário):
– As retas pontilhadas em
e
não fazem parte de
.
– A região sombreada (as barras “/”) mostra todos os pontos com .
– A região sombreada (as barras “/”) mostra todos os pontos com
Resposta
Aberta, ilimitada e conexa.