Faça um esboço gráfico das regiões abaixo descritas e as classifique em aberta/fechada, limitada/ilimitada, conexa/desconexa:
D=z in C:|Re z|<1

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a região
D = ,zinC : |Re z|<1
no plano complexo e então classificá-la em:
bul<=t aberta ou fechada
bul<=t limitada ou ilimitada
bul<=t conexa ou desconexa
Conteúdo necessário: interpretação geométrica de desigualdades envolvendo a parte real de z=x+iy e noções básicas de topologia em C.

Passo 2

Escrevendo z=x+iy, a condição |Re z|<1 equivale a
-1 < x < 1
Isso define um cinturão vertical (uma faixa infinita) entre as retas x=-1 e x=1, sem incluir essas retas. Daí:
bul<=t Como não temos pontos de fronteira (as retas x=pm1) em D, o conjunto é aberto.
bul<=t A região se estende sem limite na direção imaginária ( ytopminfty), logo é ilimitada.
bul<=t Entre quaisquer dois pontos na faixa existe um caminho contínuo que permaneça dentro dela (basta ir em linha reta ou em dois trechos), portanto é conexa.

Passo 3

Esboço gráfico (plano x - eixo real, y - eixo imaginário):
c Im uparrow ─────────────── x = -1 ─── times to Re ─────────────── x = +1
– As retas pontilhadas em x = -1 e x = 1 não fazem parte de D.
– A região sombreada (as barras “/”) mostra todos os pontos com -1 < x < 1.

Resposta

Aberta, ilimitada e conexa.

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