Sejam V um espaço vetorial sobre o corpo K e S um conjunto finito de elementos de V, isto é, S= v1, cdots, vn. O subconjunto U construído a partir dos elementos de S da seguinte forma:
U=u in V tal que u=sumi=1^n alphai vi ; alphai in K
é um subespaço vetorial de V, que vamos denotar por U=lang<= Srang<=. Dizemos que um espaço vetorial V é finitamente gerado se existe um subconjunto finito S subset V de maneira que V=lang<= Srang<=.
Seja V=P3(R), determine o subespaço gerado por p1(x), p2(x), onde p1(x)=x^3+2 x^2-x+3 e p2(x)=-2 x^3-x^2+3 x+2.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=P3(R) e pede o subespaço
U=llang<=p1(x),p2(x)rrang<=, ou seja, o conjunto de todas as combinações lineares de p1 e p2.

Passo 2

Pela definição de subespaço gerado,
U ;=;alpha,p1(x)+beta,p2(x)mid alpha,betainR

Passo 3

Calculemos a combinação geral:
alpha,p1(x)+beta,p2(x) =alpha,(x^3+2x^2-x+3)+beta,(-2x^3-x^2+3x+2)
Agrupando termos, obtemos
(alpha-2beta)x^3+(2alpha-beta)x^2+(-alpha+3beta)x+(3alpha+2beta)

Passo 4

Os polinômios p1 e p2 são linearmente independentes, pois a única solução de
alpha,p1+beta,p2=0 é alpha=beta=0. Logo dim U=2 e p1,p2 é base de U.

Resposta

U=l(alpha-2beta)x^3+(2alpha-beta)x^2+(-alpha+3beta)x+(3alpha+2beta);|;alpha,betainRr

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