Problema 8 Calcule o volume de cada sólido descrito abaixo
(a) A base é a região limitada por y=2-x^{2} e pelo eixo x. As seções transversais perpendiculares ao eixo y são discos de círculo.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um sólido cuja base é a região do plano limitada por y=2-x^{2} e pelo eixo x, e cujas seções transversais perpendiculares ao eixo y são discos circulares. Para resolver, vamos usar o método das seções transversais (ou método dos discos), integrando a área de cada disco ao longo de y.

Passo 2

Primeiro, identificamos os limites de variação de y na base. A região fica entre y=0 (eixo x) e y=2-x^{2}. Como 2-x^{2}\ge0 quando -\sqrt{2}\le x\le\sqrt{2}, concluímos que
0 \le y \le 2.

Passo 3

Para cada valor fixo de y, a seção transversal em um plano y=\text{const} intersecta a base em um segmento horizontal, cujas extremidades satisfazem
y = 2 - x^{2} \quad\Longrightarrow\quad x = \pm \sqrt{2 - y}.
Esse segmento tem comprimento total 2\,\sqrt{2-y}, que é o diâmetro do disco. Logo, o raio do disco em função de y é
r(y) = \sqrt{2 - y}.

Passo 4

A área de cada disco é
A(y) = \pi \bigl(r(y)\bigr)^{2} = \pi\,(2 - y).
Pelo método dos discos, o volume do sólido é
V = \int_{y=0}^{2} A(y)\,\mathrm{d}y = \int_{0}^{2} \pi\,(2 - y)\,\mathrm{d}y.

Passo 5

Basta calcular a integral:
V = \pi \int_{0}^{2} (2 - y)\,\mathrm{d}y = \pi \Bigl[2y - \tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{2} = \pi \bigl(4 - 2\bigr) = 2\pi.

Resposta

O volume do sólido é 2\pi.

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