Problema 8 Calcule o volume de cada sólido descrito abaixo
(a) A base é a região limitada por
e pelo eixo
. As seções transversais perpendiculares ao eixo
são discos de círculo.
(a) A base é a região limitada por
Passo 1
O enunciado pede o volume de um sólido cuja base é a região do plano limitada por
e pelo eixo
, e cujas seções transversais perpendiculares ao eixo
são discos circulares. Para resolver, vamos usar o método das seções transversais (ou método dos discos), integrando a área de cada disco ao longo de
.
Passo 2
Primeiro, identificamos os limites de variação de
na base. A região fica entre
(eixo
) e
. Como
quando
, concluímos que
Passo 3
Para cada valor fixo de
, a seção transversal em um plano
intersecta a base em um segmento horizontal, cujas extremidades satisfazem
Esse segmento tem comprimento total
que é o diâmetro do disco. Logo, o raio do disco em função de
é
Passo 4
A área de cada disco é
Pelo método dos discos, o volume do sólido é
Passo 5
Basta calcular a integral:
Resposta
O volume do sólido é
.