Desenvolva as expressões abaixo:
\left(x^{5}-9 x^{3}+10 x\right)\left(x^{2}+2 x+2\right)

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver (ou seja, expandir) o produto de dois polinômios
(x^{5}-9x^{3}+10x)\,(x^{2}+2x+2).
O conteúdo aqui é multiplicação de polinômios, que usa a propriedade distributiva: cada termo do primeiro polinômio multiplica todo o segundo polinômio.

Passo 2

Aplicamos a distributiva termo a termo do primeiro polinômio sobre o segundo:
x^{5}\,(x^{2}+2x+2) = x^{7}+2x^{6}+2x^{5},
(-9x^{3})\,(x^{2}+2x+2) = -9x^{5}-18x^{4}-18x^{3},
10x\,(x^{2}+2x+2) = 10x^{3}+20x^{2}+20x.

Passo 3

Agora somamos todas as parcelas colhidas e agrupamos os termos semelhantes:
x^{7} +2x^{6} +\bigl(2x^{5}-9x^{5}\bigr) -18x^{4} +\bigl(-18x^{3}+10x^{3}\bigr) +20x^{2} +20x.

Passo 4

Calculemos as combinações:
2x^{5}-9x^{5}=-7x^{5},
-18x^{3}+10x^{3}=-8x^{3}.
Logo o polinômio expandido, em ordem decrescente de grau, fica:
x^{7}+2x^{6}-7x^{5}-18x^{4}-8x^{3}+20x^{2}+20x.

Resposta

x^{7}+2x^{6}-7x^{5}-18x^{4}-8x^{3}+20x^{2}+20x.

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