Simplifique as expressões abaixo:
\frac{x^{5}-9 x^{3}}{x^{4}+27 x}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a fração algébrica \displaystyle \frac{x^{5}-9x^{3}}{x^{4}+27x}.
O conteúdo principal aqui é fatoração de polinômios (diferença de quadrados e soma de cubos) para em seguida cancelar fatores comuns.

Passo 2

Vamos fatorar o numerador \;x^{5}-9x^{3}.
Primeiro, colocamos x^{3} em evidência:
x^{5}-9x^{3} = x^{3}\bigl(x^{2}-9\bigr).
Em seguida, reconhecemos x^{2}-9 como diferença de quadrados:
x^{2}-9 = (x-3)(x+3).
Logo,
x^{5}-9x^{3} = x^{3}(x-3)(x+3).

Passo 3

Agora fatoramos o denominador \;x^{4}+27x.
Colocamos x em evidência:
x^{4}+27x = x\bigl(x^{3}+27\bigr).
E x^{3}+27 é soma de cubos, pois 27=3^{3}, ficando
x^{3}+27 = (x+3)\bigl(x^{2}-3x+9\bigr).
Portanto,
x^{4}+27x = x\,(x+3)\,(x^{2}-3x+9).

Passo 4

Substituindo as fatorações na fração original, temos
\frac{x^{5}-9x^{3}}{x^{4}+27x} = \frac{x^{3}(x-3)(x+3)}{x\,(x+3)\,(x^{2}-3x+9)}.
Podemos cancelar o fator x e o fator (x+3), desde que x\neq0 e x\neq-3. Resta:
\frac{x^{2}(x-3)}{x^{2}-3x+9}.

Passo 5

Concluímos que a forma simplificada é
\frac{x^{2}(x-3)}{x^{2}-3x+9},
com a condição de que x\neq0 e x\neq-3 (para não zerar fatores que cancelamos).

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}(x-3)}{x^{2}-3x+9} para x\neq0 e x\neq-3.

Exercícios relacionados