Verifique, por integração direta, que as funções são ortogonais em relação à função peso indicada, no intervalo dado.
H0(x)=1, H1(x)=2 x, H2(x)=4 x^2-2 ; p(x)=e^-x^2 ;(-infty, infty)

Passo 1

O enunciado pede para verificar que as funções de Hermite de ordem 0, 1 e 2, dadas por
H₀(x)=1, H₁(x)=2x, H₂(x)=4x²−2
de peso p(x)=e^{−x²} são ortogonais no intervalo (−∞,∞). Vamos usar o conceito de ortogonalidade com peso, que diz que para m≠n devemos ter
∫_{−∞}^{∞} H_m(x) H_n(x) p(x) dx = 0

Passo 2

Ortogonalidade com peso significa que, quando m≠n, a integral
∫_{−∞}^{∞} H_m(x)
H_n(x)
e^{−x²}
dx
deve ser zero. Vamos calcular as três integrais cruzadas: (H₀,H₁), (H₀,H₂) e (H₁,H₂).

Passo 3

Cálculo de ∫H₀(x)H₁(x)e^{−x²}dx:
H₀(x)H₁(x)=1·(2x)=2x, que é função ímpar. Logo
∫_{−∞}^{∞}2x e^{−x²} dx = 0
porque a integral de uma função ímpar em intervalo simétrico é zero.

Passo 4

Cálculo de ∫H₀(x)H₂(x)e^{−x²}dx:
H₀(x)H₂(x)=4x²−2. Então
∫_{−∞}{∞}(4x²−2)e{−x²}dx
=4∫_{−∞}{∞}x²e{−x²}dx − 2∫_{−∞}{∞}e{−x²}dx.
Sabemos que
∫_{−∞}{∞}e{−x²}dx = √π
e
∫_{−∞}{∞}x²e{−x²}dx = ½√π.
Substituindo:
4·(½√π) − 2·√π = 2√π − 2√π = 0.

Passo 5

Cálculo de ∫H₁(x)H₂(x)e^{−x²}dx:
H₁(x)H₂(x)=(2x)(4x²−2)=8x³−4x, que é função ímpar. Portanto
∫_{−∞}^{∞}(8x³ − 4x)e^{−x²}dx = 0
pelo mesmo argumento de função ímpar.

Passo 6

Como todas as integrais cruzadas são zero, concluímos que H₀, H₁ e H₂ são ortogonais em relação ao peso e^{−x²} no intervalo (−∞,∞).

Resposta

As integrais ∫_{−∞}{∞}H_m(x)H_n(x)e{−x²}dx são zero para todo m≠n em {0,1,2}, logo as funções são ortogonais.

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