Encontre o raio e intervalo de convergência.
\sum \frac{x^{n}}{n^{2} 3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências centrada em zero
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n^{2}\,3^{n}}.
Vamos usar o Teste da Raiz para obter o raio e depois verificar separadamente o comportamento nos extremos.

Passo 2

Aplicamos o Teste da Raiz: tomamos
a_{n}=\frac{1}{n^{2}\,3^{n}} \quad\text{e consideramos}\quad \sqrt[n]{\bigl|a_{n}\,x^{n}\bigr|} =\sqrt[n]{a_{n}}\;\bigl|x\bigr| =\frac{\sqrt[n]{1/n^{2}}}{3}\;\bigl|x\bigr|.
Como \sqrt[n]{1/n^{2}}\to1 quando n\to\infty, o limite da raiz é \bigl|x\bigr|/3. A série converge se
\frac{\bigl|x\bigr|}{3}<1,
logo o raio de convergência é
R=3.

Passo 3

Com R=3, a convergência é garantida para -3<x<3. Agora precisamos checar o que ocorre em x=3 e em x=-3.

Passo 4

Em x=3 a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{n^{2}\,3^{n}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}},
que é a série p-série com p=2>1, logo converge.

Passo 5

Em x=-3 a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-3)^{n}}{n^{2}\,3^{n}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}.
Como \sum1/n^{2} converge absolutamente, a série alternada também converge.

Resposta

O raio de convergência é R=3 e o intervalo de convergência é \bigl[-3,3\bigr].

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