Encontre o raio e intervalo de convergência.
\sum \frac{(-1)^{n} x^{2 n-1}}{(2 n+1)!}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\,x^{2n-1}}{(2n+1)!}.
O conteúdo é séries de potências e vamos usar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_n = \frac{(-1)^{n}\,x^{2n-1}}{(2n+1)!}
e consideramos o valor absoluto
|a_n| = \frac{|x|^{2n-1}}{(2n+1)!}.

Passo 3

Aplicamos o Teste da Razão, calculando
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{|x|^{2(n+1)-1}/(2(n+1)+1)!}{|x|^{2n-1}/(2n+1)!} = |x|^2\,\frac{(2n+1)!}{(2n+3)!} = \frac{|x|^2}{(2n+2)(2n+3)}.

Passo 4

Tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{|x|^2}{(2n+2)(2n+3)} = 0.
Como esse limite é 0<1 para todo x\in\mathbb{R}, o raio de convergência é infinito.

Resposta

O raio de convergência é R=\infty e o intervalo de convergência é (-\infty,\infty).

Exercícios relacionados