Desenvolva as integrais abaixo pelo método de integração Por Partes do produto de duas funções
integral x^n cdot e^x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x^n e^x,dx
usando o método de integração por partes, cuja fórmula é
integral u,dv = u,v - integral v,du
Vamos escolher u e dv de modo a reduzir o grau de x a cada aplicação.

Passo 2

Escolhemos
u = x^n Longrightarrow du = n,x^n-1,dx,
dv = e^x,dx Longrightarrow v = e^x
Substituindo na fórmula de partes:
integral x^ne^x,dx = x^ne^x - integral e^xl(n,x^n-1r),dx = x^ne^x - nintegral x^n-1e^x,dx

Passo 3

Observe que agora temos uma integral do mesmo tipo, mas com n diminuído em 1. Se repetirmos o processo para integral x^n-1e^x,dx, obteremos
integral x^ne^x,dx = x^ne^x - nl[x^,n-1e^x - (n-1)integral x^n-2e^x,dxr] = x^ne^x - n,x^n-1e^x + n(n-1)integral x^n-2e^x,dx
Continuando até reduzir a potência a zero, chegamos a um somatório alternado.

Passo 4

Quando o expoente chega a zero, sabemos que
integral x^0e^x,dx = integral e^x,dx = e^x
Juntando todos os passos, a cada redução surge um fator que cresce até n!. No final, podemos fatorar e^x.

Passo 5

O resultado geral fica
integral x^ne^x,dx = e^xl(x^n - n,x^n-1 + n(n-1),x^n-2 - cdots + (-1)^nn!r) + C,
ou, de forma compacta,
integral x^ne^x,dx = e^xsumk=0^n(-1)^,n-kn!k!,x^k + C

Resposta

boxedintegral x^ne^x,dx = e^xsumk=0^n(-1)^,n-kn!k!,x^k + C

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