Prove que as afirmações abaixo são verdadeiras para todos z, w in C :
|z w| <= 12(|z|^2+|w|^2)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer z,winC,
|zw|<= 12l(|z|^2+|w|^2r)
O que vamos usar é a propriedade do módulo de produto em C e uma desigualdade clássica para números reais não negativos.

Passo 2

Lembramos que, para todo z,winC, vale
|zw| = |z|;|w|
Assim basta provar
|z|;|w|<= 12l(|z|^2+|w|^2r)

Passo 3

Para quaisquer reais a,b>=0 temos
(a-b)^2 >= 0
o que expande para
a^2 - 2ab + b^2 >= 0 Longrightarrow a^2 + b^2 >= 2ab
Tomando a=|z| e b=|w|, obtemos
|z|^2 + |w|^2 >= 2,|z|,|w|

Passo 4

Dividindo a desigualdade acima por 2, vem
12l(|z|^2 + |w|^2r)>= |z|,|w|
Usando de novo |zw|=|z|,|w|, concluímos
|zw|<= 12l(|z|^2 + |w|^2r)

Resposta

|zw|<= 12l(|z|^2+|w|^2r)

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