Desenvolva as integrais abaixo pelo método de integração Por Partes do produto de duas funções
integral x^2 cdot e^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x^2e^2x,dx
Usaremos o método de integração por partes, cuja fórmula é
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Definimos as funções para a primeira aplicação:
u = x^2 e dv = e^2x,dx.
Então calculamos
du = 2x,dx, v = integral e^2x,dx = e^2x2

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
integral x^2e^2x,dx = u,v - integral v,du = x^2cdote^2x2 ;-;integral e^2x2cdot(2x,dx)
Simplificando o integrando:
integral x^2e^2x,dx = x^2e^2x2 - integral x,e^2x,dx

Passo 4

Para integral x,e^2x,dx fazemos partes de novo. Seja
tilde u = x, ,dtilde v = e^2x,dx. Então
dtilde u = dx, tilde v = e^2x2
Logo
integral x,e^2x,dx = tilde u,tilde v - integral tilde v,dtilde u = xcdote^2x2 - integral e^2x2,dx = x,e^2x2 - 12cdote^2x2 = x,e^2x2 - e^2x4

Passo 5

Substituindo de volta em
integral x^2e^2x,dx = x^2e^2x2 - integral x,e^2x,dx, obtemos
integral x^2e^2x,dx = x^2e^2x2 - l(x,e^2x2 - e^2x4r) = x^2e^2x2 - x,e^2x2 + e^2x4
Para simplificar, colocamos tudo sob o mesmo denominador:
x^2e^2x2 = 2x^2e^2x4, x,e^2x2 = 2x,e^2x4,
portanto
integral x^2e^2x,dx = e^2x4,l(2x^2 - 2x + 1r) + C

Resposta

integral x^2e^2x,dx = e^2x4,l(2x^2 - 2x + 1r) + C

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