Prove que as afirmações abaixo são verdadeiras para todos z, w in C :
|z pm w|^2=|z|^2 pm 2 Re z barw+|w|^2

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para quaisquer z,winC, valem as fórmulas
|,zpm w,|^2=|z|^2pm2Rel(zbar wr)+|w|^2
Vamos usar a definição de módulo e as propriedades do conjugado e da parte real.

Passo 2

Começamos com o caso do sinal +. Usamos
|,z+w,|^2=(z+w),(z+w)
e como z+w=bar z+bar w, obtemos
|,z+w,|^2=(z+w)(bar z+bar w) =zbar z + zbar w + wbar z + wbar w
Como zbar z=|z|^2 e wbar w=|w|^2, fica
|,z+w,|^2 =|z|^2 + zbar w + wbar z + |w|^2

Passo 3

Note que
zbar w + wbar z =zbar w + zbar w =2,Rel(zbar wr)
Substituindo na expressão anterior,
|,z+w,|^2 =|z|^2 + 2,Rel(zbar wr) + |w|^2

Passo 4

Para o caso do sinal -, fazemos cálculo análogo:
|,z-w,|^2=(z-w)(bar z-bar w) =zbar z - zbar w - wbar z + wbar w =|z|^2 - l(zbar w + wbar zr) + |w|^2
Usando de novo zbar w + wbar z=2Re(zbar w), chega-se a
|,z-w,|^2 =|z|^2 - 2,Rel(zbar wr) + |w|^2

Resposta

|,zpm w,|^2 =|z|^2pm2,Rel(zbar wr)+|w|^2

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