Prove que as afirmações abaixo são verdadeiras para todos
:
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para qualquer número complexo
, vale
O conteúdo envolvido é a relação entre as normas
e
em
ou, equivalentemente, uma aplicação simples de desigualdade de Cauchy–Schwarz ou de desigualdade entre quadrados.
Passo 2
Escrevemos
na forma cartesiana
onde
e
. Lembrando que
Passo 3
Para comparar a soma
com
, elevamos ambos os lados ao quadrado. Precisamos mostrar
Passo 4
Expandindo o quadrado do lado esquerdo, obtemos
Agora usamos a desigualdade
que decorre de
.
Passo 5
Juntando as contas,
Tirando raiz quadrada em ambos os lados (e lembrando que tudo é não negativo), concluímos