Prove que as afirmações abaixo são verdadeiras para todos z, w in C :
|Re z|+|Im z| <= raiz2|z|

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para qualquer número complexo z, vale
|Rez| + |Imz| ;<=;raiz2,lvert zrvert
O conteúdo envolvido é a relação entre as normas L^1 e L^2 em R^2 ou, equivalentemente, uma aplicação simples de desigualdade de Cauchy–Schwarz ou de desigualdade entre quadrados.

Passo 2

Escrevemos z na forma cartesiana
z = x + i y,
onde x = Rez e y = Imz. Lembrando que
lvert zrvert = raizx^2 + y^2

Passo 3

Para comparar a soma lvert xrvert + lvert yrvert com raiz2,raizx^2+y^2, elevamos ambos os lados ao quadrado. Precisamos mostrar
l(lvert xrvert + lvert yrvertr)^2 ;<=; l(raiz2,raizx^2+y^2r)^2 = 2,(x^2 + y^2)

Passo 4

Expandindo o quadrado do lado esquerdo, obtemos
l(lvert xrvert + lvert yrvertr)^2 = x^2 + y^2 + 2,lvert x,yrvert
Agora usamos a desigualdade
2,lvert x,yrvert ;<=; x^2 + y^2,
que decorre de l(lvert xrvert - lvert yrvertr)^2 >= 0.

Passo 5

Juntando as contas,
l(lvert xrvert + lvert yrvertr)^2 = x^2 + y^2 + 2,lvert x,yrvert ;<=; x^2 + y^2 + (x^2 + y^2) = 2,(x^2 + y^2)
Tirando raiz quadrada em ambos os lados (e lembrando que tudo é não negativo), concluímos
lvert xrvert + lvert yrvert ;<=;raiz2,raizx^2+y^2 = raiz2,lvert zrvert

Resposta

|Rez| + |Imz| ;<=;raiz2,|z|

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