Prove que as afirmações abaixo são verdadeiras para todos z, w in C :
Re(z^2)=(Re z)^2-(Im z)^2

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo zinC,
Re(z^2) = (Re z)^2 - (Im z)^2
O conteúdo envolve a definição de parte real e parte imaginária de um número complexo e simples álgebra.

Passo 2

Escrevemos z na forma padrão:
z = x + i,y,
onde x = Re z e y = Im z, com x,yinR.

Passo 3

Calculamos o quadrado de z:
z^2 = (x + i,y)^2 = x^2 + 2,i,x,y + (i,y)^2
Como i^2 = -1, segue que
(i,y)^2 = i^2,y^2 = -y^2

Passo 4

Substituindo na expressão de z^2, obtemos
z^2 = x^2 + 2,i,x,y - y^2 = (x^2 - y^2) + i,(2,x,y)
Daí a parte real de z^2 é
Re(z^2) = x^2 - y^2
Como x = Re z e y = Im z, concluímos
Re(z^2) = (Re z)^2 - (Im z)^2

Resposta

Re(z^2) = (Re z)^2 - (Im z)^2,
conforme desejado.

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