Prove que as afirmações abaixo são verdadeiras para todos z, w in C :
Im(z^2)=2 Re z Im z

Passo 1

O enunciado pede que provemos que, para todo zinC, vale
Iml(z^2r)=2,Re(z),Im(z)
O conteúdo principal é a manipulação da forma cartesiana de um número complexo. Vamos usar a representação
z = x + i,y,
onde x=Re(z) e y=Im(z) são números reais.

Passo 2

Escrevemos
z = x + i,y,
com x,yinR. Em seguida, calculamos seu quadrado:
z^2 = (x + i,y)^2

Passo 3

Expandindo o produto, temos
z^2 = x^2 + 2,i,x,y + i^2,y^2 = x^2 - y^2 + i,(2,x,y)
Dessa forma, o coeficiente que multiplica i em z^2 é 2,x,y.

Passo 4

Por definição, a parte imaginária de z^2 é justamente esse coeficiente:
Iml(z^2r) = 2,x,y
Como também Re(z)=x e Im(z)=y, segue
2,Re(z),Im(z) = 2,x,y
Portanto
Iml(z^2r)=2,Re(z),Im(z)

Resposta

A igualdade Im(z^2)=2,Re(z),Im(z) é verdadeira para todo zinC.

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