Prove que as afirmações abaixo são verdadeiras para todos
:
Passo 1
O enunciado pede que provemos que, para todo
, vale
O conteúdo principal é a manipulação da forma cartesiana de um número complexo. Vamos usar a representação
onde
e
são números reais.
Passo 2
Escrevemos
com
. Em seguida, calculamos seu quadrado:
Passo 3
Expandindo o produto, temos
Dessa forma, o coeficiente que multiplica
em
é
.
Passo 4
Por definição, a parte imaginária de
é justamente esse coeficiente:
Como também
e
, segue
Portanto
Resposta
A igualdade
é verdadeira para todo
.