Determine a série de Fourier das funções:
g(x)= \begin{cases}-1-\frac{x}{\pi}, & \text { se }-\pi \leqslant x<0 ; \\\\ 1-\frac{x}{\pi}, & \text { se } 0<x \leqslant \pi .\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de
g(x)= \begin{cases} -1-\dfrac{x}{\pi},& -\pi\le x<0,\\[6pt] 1-\dfrac{x}{\pi},& 0<x\le\pi \end{cases}
com período 2\pi. Trata-se de expandir g em série trigonométrica, reconhecendo sua paridade e calculando os coeficientes.]

Passo 2

Verificamos a paridade de g. Para x>0,
g(-x)=-1-\frac{-x}{\pi}=-1+\frac{x}{\pi}, \quad -g(x)=-\Bigl(1-\frac{x}{\pi}\Bigr)=-1+\frac{x}{\pi},
logo g(-x)=-g(x) e g é função ímpar.

Passo 3

Como g é ímpar, sua série de Fourier contém apenas termos em \sin(nx):
g(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx),
onde
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}g(x)\,\sin(nx)\,dx.

Passo 4

Sobre 0<x<\pi temos g(x)=1-\tfrac{x}{\pi}. Então
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\Bigl(1-\frac{x}{\pi}\Bigr)\sin(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\Bigl(I_1-\frac{1}{\pi}I_2\Bigr),
com
I_1=\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx, \quad I_2=\int_{0}^{\pi}x\,\sin(nx)\,dx.

Passo 5

Calculamos I_1:
I_1 =\bigl[-\tfrac{\cos(nx)}{n}\bigr]_{0}^{\pi} =\frac{1-(-1)^n}{n}.

Passo 6

Calculamos I_2 por integração por partes:
u=x,\;dv=\sin(nx)\,dx \;\Longrightarrow\; du=dx,\;v=-\frac{\cos(nx)}{n},
I_2 =\Bigl.-\frac{x\cos(nx)}{n}\Bigr|_{0}^{\pi} +\int_{0}^{\pi}\frac{\cos(nx)}{n}\,dx =-\frac{\pi(-1)^n}{n} +\frac{1}{n}\Bigl[\frac{\sin(nx)}{n}\Bigr]_0^{\pi} =-\frac{\pi(-1)^n}{n}.

Passo 7

Substituindo em b_n:
b_n =\frac{2}{\pi}\Bigl(\frac{1-(-1)^n}{n}+\frac{(-1)^n}{n}\Bigr) =\frac{2}{\pi}\,\frac{1}{n}.

Passo 8

Concluímos que todos os coeficientes valem
b_n=\frac{2}{\pi n},
portanto a série de Fourier é
g(x) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{\pi n}\,\sin(nx).

Resposta

\boxed{g(x)=\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n}.}

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