Usando as definições das funções complexas, mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a identidade
para números complexos
e
, usando as definições das funções hiperbólicas complexas. As informações relevantes que temos são as definições padrão:
e a propriedade do exponencial complexo
Passo 2
Vou explicitar e justificar as definições e propriedades que vou usar (tudo válido para complexos):
- A definição de
e vem diretamente das mesmas fórmulas usadas em reais, só que aplicadas a argumentos complexos; não há problema em usar com . - A propriedade
vale para números complexos porque a função exponencial complexa preserva soma em produto (é definida pela série de potências que satisfaz essa propriedade). Também vale . - Produtos e somas de complexos obedecem às mesmas regras algébricas (comutatividade e associatividade), então podemos fatorar e agrupar termos normalmente.
Passo 3
Calculemos o lado esquerdo pela definição:
Usando
e
, obtemos
Passo 4
Agora calculemos o lado direito usando as definições:
Colocando tudo sobre um denominador comum
:
Passo 5
Expandimos os produtos no numerador (faça passo a passo para ver o cancelamento):
Somando essas duas expressões, os termos mistos
e
se cancelam, restando
Dividindo por
obtemos
Passo 6
Comparando com o resultado do Passo 3 vemos que o lado direito e o lado esquerdo coincidem:
Pronto — a identidade está demonstrada. Força nos estudos: essa manipulação com exponenciais é a maneira padrão de provar todas as identidades hiperbólicas, inclusive para argumentos complexos.