Usando as definições das funções complexas, mostre que:
\operatorname{senh}\left(z_{1}+z_{2}\right)=\operatorname{senh}\left(z_{1}\right) \operatorname{cosh} \left(z_{2}\right)+\operatorname{cosh} \left(z_{1}\right) \operatorname{senh}\left(z_{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade
\operatorname{senh}\!\left(z_{1}+z_{2}\right)=\operatorname{senh}\!\left(z_{1}\right)\operatorname{cosh}\!\left(z_{2}\right)+\operatorname{cosh}\!\left(z_{1}\right)\operatorname{senh}\!\left(z_{2}\right)
para números complexos z_{1} e z_{2}, usando as definições das funções hiperbólicas complexas. As informações relevantes que temos são as definições padrão:
\operatorname{senh}(z)=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}, \qquad \operatorname{cosh}(z)=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2},
e a propriedade do exponencial complexo
e^{z_{1}+z_{2}}=e^{z_{1}}e^{z_{2}}.

Passo 2

Vou explicitar e justificar as definições e propriedades que vou usar (tudo válido para complexos):
  • A definição de \operatorname{senh} e \operatorname{cosh} vem diretamente das mesmas fórmulas usadas em reais, só que aplicadas a argumentos complexos; não há problema em usar e^{z} com z\in\mathbb{C}.
  • A propriedade e^{z_{1}+z_{2}}=e^{z_{1}}e^{z_{2}} vale para números complexos porque a função exponencial complexa preserva soma em produto (é definida pela série de potências que satisfaz essa propriedade). Também vale e^{-(z_{1}+z_{2})}=e^{-z_{1}}e^{-z_{2}}.
  • Produtos e somas de complexos obedecem às mesmas regras algébricas (comutatividade e associatividade), então podemos fatorar e agrupar termos normalmente.

Passo 3

Calculemos o lado esquerdo pela definição:
\operatorname{senh}\!\left(z_{1}+z_{2}\right)=\frac{e^{z_{1}+z_{2}}-e^{-(z_{1}+z_{2})}}{2}.
Usando e^{z_{1}+z_{2}}=e^{z_{1}}e^{z_{2}} e e^{-(z_{1}+z_{2})}=e^{-z_{1}}e^{-z_{2}}, obtemos
\operatorname{senh}\!\left(z_{1}+z_{2}\right)=\frac{e^{z_{1}}e^{z_{2}}-e^{-z_{1}}e^{-z_{2}}}{2}.

Passo 4

Agora calculemos o lado direito usando as definições:
\operatorname{senh}\!(z_{1})\operatorname{cosh}\!(z_{2})+\operatorname{cosh}\!(z_{1})\operatorname{senh}\!(z_{2})
=\left(\frac{e^{z_{1}}-e^{-z_{1}}}{2}\right)\left(\frac{e^{z_{2}}+e^{-z_{2}}}{2}\right) +\left(\frac{e^{z_{1}}+e^{-z_{1}}}{2}\right)\left(\frac{e^{z_{2}}-e^{-z_{2}}}{2}\right).
Colocando tudo sobre um denominador comum 4:
\text{RHS}=\frac{(e^{z_{1}}-e^{-z_{1}})(e^{z_{2}}+e^{-z_{2}})+(e^{z_{1}}+e^{-z_{1}})(e^{z_{2}}-e^{-z_{2}})}{4}.

Passo 5

Expandimos os produtos no numerador (faça passo a passo para ver o cancelamento):
(e^{z_{1}}-e^{-z_{1}})(e^{z_{2}}+e^{-z_{2}}) = e^{z_{1}}e^{z_{2}}+e^{z_{1}}e^{-z_{2}}-e^{-z_{1}}e^{z_{2}}-e^{-z_{1}}e^{-z_{2}},
(e^{z_{1}}+e^{-z_{1}})(e^{z_{2}}-e^{-z_{2}}) = e^{z_{1}}e^{z_{2}}-e^{z_{1}}e^{-z_{2}}+e^{-z_{1}}e^{z_{2}}-e^{-z_{1}}e^{-z_{2}}.
Somando essas duas expressões, os termos mistos e^{z_{1}}e^{-z_{2}} e e^{-z_{1}}e^{z_{2}} se cancelam, restando
\text{numerador}=2e^{z_{1}}e^{z_{2}}-2e^{-z_{1}}e^{-z_{2}}=2\bigl(e^{z_{1}+z_{2}}-e^{-(z_{1}+z_{2})}\bigr).
Dividindo por 4 obtemos
\text{RHS}=\frac{2\bigl(e^{z_{1}+z_{2}}-e^{-(z_{1}+z_{2})}\bigr)}{4}=\frac{e^{z_{1}+z_{2}}-e^{-(z_{1}+z_{2})}}{2}.

Passo 6

Comparando com o resultado do Passo 3 vemos que o lado direito e o lado esquerdo coincidem:
\operatorname{senh}\!\left(z_{1}+z_{2}\right)=\operatorname{senh}\!(z_{1})\operatorname{cosh}\!(z_{2})+\operatorname{cosh}\!(z_{1})\operatorname{senh}\!(z_{2}).
Pronto — a identidade está demonstrada. Força nos estudos: essa manipulação com exponenciais é a maneira padrão de provar todas as identidades hiperbólicas, inclusive para argumentos complexos.

Resposta

\operatorname{senh}\!\left(z_{1}+z_{2}\right)=\operatorname{senh}\!\left(z_{1}\right)\operatorname{cosh}\!\left(z_{2}\right)+\operatorname{cosh}\!\left(z_{1}\right)\operatorname{senh}\!\left(z_{2}\right)

Exercícios relacionados