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(2 x-1)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver (ou expandir) a expressão (2x-1)^{3}.
Informações dadas: é uma potência de expoente \,3 aplicada a um binómio (2x-1).
O objetivo é escrever (2x-1)^{3} como um polinômio somando os termos resultantes da expansão.

Passo 2

Vou usar a fórmula do cubo de um binómio. A identidade geral para (a-b)^{3} é:
(a-b)^{3} = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}.
Explicando cada parte: os coeficientes \,1,3,3,1 vêm dos coeficientes binomiais (linha correspondente do triângulo de Pascal) e os sinais alternam porque temos a-b (o termo com b ímpar fica negativo).

Passo 3

Identificamos na nossa expressão (2x-1)^{3} que a=2x e b=1. Assim podemos aplicar a fórmula diretamente com esses valores.

Passo 4

Calculamos o primeiro termo da fórmula: a^{3}=(2x)^{3}.
Como (2x)^{3}=2^{3}\cdot x^{3}, temos
(2x)^{3}=8x^{3}.

Passo 5

Calculamos o segundo termo da fórmula: -3a^{2}b=-3(2x)^{2}\cdot 1.
Primeiro (2x)^{2}=2^{2}\cdot x^{2}=4x^{2}. Então
-3(2x)^{2}\cdot 1 = -3\cdot 4x^{2}\cdot 1 = -12x^{2}.

Passo 6

Calculamos o terceiro termo da fórmula: 3ab^{2}=3(2x)\cdot 1^{2}.
Como 1^{2}=1, temos
3(2x)\cdot 1 = 6x.

Passo 7

Calculamos o quarto termo da fórmula: -b^{3}=-1^{3}.
Como 1^{3}=1, temos
-1^{3} = -1.

Passo 8

Agora somamos todos os termos obtidos na fórmula:
(2x-1)^{3} = 8x^{3} - 12x^{2} + 6x - 1.

Passo 9

Verificação rápida (método alternativo): primeiro (2x-1)^{2}=4x^{2}-4x+1. Multiplicando por (2x-1):
(4x^{2}-4x+1)(2x-1) = 8x^{3}-8x^{2}+2x -4x^{2}+4x-1 = 8x^{3}-12x^{2}+6x-1,
o que confirma o resultado anterior.

Resposta

8x^{3}-12x^{2}+6x-1

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