Desenvolva os seguintes produtos:
(x+1)\left(x^{2}-x+1\right)

Passo 1

O enunciado pede que a gente desenvolva (expanda) o produto (x+1)\left(x^{2}-x+1\right).
Informações dadas: o primeiro fator é x+1 e o segundo fator é x^{2}-x+1. O objetivo é escrever o produto como um polinômio somando termos semelhantes.

Passo 2

Plano de ataque: vamos usar a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição, que diz que, para quaisquer expressões a,b,c,
a(b+c)=ab+ac.
Aqui aplicamos essa ideia multiplicando cada termo do primeiro fator pelo polinômio do segundo fator. Escolhi esse método porque é o mais direto e elemental para expandir produtos de polinômios numa prova.

Passo 3

Multiplicamos o primeiro termo do primeiro fator, que é x, pelo polinômio do segundo fator. Fazendo termo a termo:
x\cdot x^{2}=x^{3},
x\cdot(-x)=-x^{2},
x\cdot 1 = x.
Portanto o resultado parcial da multiplicação por x é
x\left(x^{2}-x+1\right)=x^{3}-x^{2}+x.

Passo 4

Agora multiplicamos o segundo termo do primeiro fator, que é 1, pelo polinômio do segundo fator. Novamente termo a termo:
1\cdot x^{2}=x^{2},
1\cdot(-x)=-x,
1\cdot 1 = 1.
Logo
1\left(x^{2}-x+1\right)=x^{2}-x+1.

Passo 5

Somamos os dois resultados parciais obtidos nos passos anteriores:
\bigl(x^{3}-x^{2}+x\bigr)+\bigl(x^{2}-x+1\bigr).
Agora agrupamos termos semelhantes (mesmo grau) e somamos:
x^{3}+(-x^{2}+x^{2})+(x-x)+1.
Observe as simplificações: -x^{2}+x^{2}=0 e x-x=0. Portanto sobra apenas
x^{3}+1.

Passo 6

Comentário adicional (útil na prova): essa igualdade também é uma identidade conhecida de soma de cubos:
x^{3}+1^{3}=(x+1)\left(x^{2}-x+1\right).
Isso confirma que o resultado está correto — mas na prova é seguro usar a distributiva como fizemos, caso você não lembre da identidade.

Resposta

x^{3}+1

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