Determine o intervalo de convergência da série seguinte:
\sum_{n \geq 1}(-1)^{n} \frac{(2 x-3)^{n}}{n^{2}+4^{n}}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n \ge 1}(-1)^{n}\,\frac{(2x-3)^{n}}{n^{2}+4^{n}}.
O conteúdo principal é convergência de séries de potências; vamos usar o teste da razão para determinar o raio de convergência e depois examinar os pontos extremos.

Passo 2

Defina
a_{n}=(-1)^{n}\,\frac{(2x-3)^{n}}{n^{2}+4^{n}}.
Aplicando o teste da razão:
\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\Bigr| =|2x-3|\, \frac{n^{2}+4^{n}}{(n+1)^{2}+4^{n+1}}.
Para n\to\infty temos n^{2}\ll4^{n}, logo n^{2}+4^{n}\sim4^{n} e (n+1)^{2}+4^{n+1}\sim4\cdot4^{n}. Portanto
L=\lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\Bigr| =\lim_{n\to\infty}|2x-3|\frac{4^{n}}{4\cdot4^{n}} =\frac{|2x-3|}{4}.
O teste da razão diz que a série converge (absolutamente) se L<1, isto é,
\frac{|2x-3|}{4}<1.

Passo 3

Resolver
\frac{|2x-3|}{4}<1 \quad\Longrightarrow\quad |2x-3|<4 \quad\Longrightarrow\quad -4<2x-3<4 \quad\Longrightarrow\quad -\tfrac12 < x < \tfrac72.
Logo a série converge absolutamente para \displaystyle x\in\bigl(-\tfrac12,\tfrac72\bigr).

Passo 4

Verificamos os extremos:
  1. Em x=-\tfrac12 temos 2x-3=-4, então
(-1)^n\frac{(-4)^n}{n^2+4^n} =\frac{4^n}{n^2+4^n}\;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;1,
portanto o termo geral não tende a zero e a série diverge.
  1. Em x=\tfrac72 temos 2x-3=4, então
(-1)^n\frac{4^n}{n^2+4^n},
cujo módulo \frac{4^n}{n^2+4^n}\to1, logo também não tende a zero e a série diverge.
Assim, não há convergência em \,x=-\tfrac12 nem em x=\tfrac72.

Resposta

\displaystyle\bigl(-\tfrac12,\tfrac72\bigr)

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