Desenvolva em série de potências de as seguintes funções, indicando os intervalos de convergência:
Passo 1
O enunciado pede para desenvolver em série de potências de a função e indicar o intervalo de convergência. O conteúdo principal envolve usar a série de Taylor de e depois integrar termo a termo.
Passo 2
A série de Taylor de em torno de zero é dada por:
Passo 3
Substituindo na expansão acima, obtemos:
Passo 4
Agora integramos termo a termo de até . Como
segue que
Passo 5
Para determinar o intervalo de convergência, aplicamos o teste da razão a um termo geral . Fazendo
para todo x. Isso mostra que o raio de convergência é infinito, ou seja, xin(-infty,infty).