Desenvolva em série de potências de x as seguintes funções, indicando os intervalos de convergência:

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver em série de potências de x a função f(x)=integral0^xsin(t^2),dt e indicar o intervalo de convergência. O conteúdo principal envolve usar a série de Taylor de sin u e depois integrar termo a termo.

Passo 2

A série de Taylor de sin u em torno de zero é dada por:
sin u = sumk=0^infty(-1)^ku^2k+1(2k+1)!

Passo 3

Substituindo u=t^2 na expansão acima, obtemos:
sin(t^2) = sumk=0^infty(-1)^kt^4k+2(2k+1)!

Passo 4

Agora integramos termo a termo de t=0 até t=x. Como
integral0^xt^4k+2,dt = x^4k+34k+3,
segue que
f(x)=integral0^xsin(t^2),dt = sumk=0^infty(-1)^kx^4k+3(2k+1)!,(4k+3)

Passo 5

Para determinar o intervalo de convergência, aplicamos o teste da razão a um termo geral ak=(-1)^k,x^4k+3/[(2k+1)!(4k+3)]. Fazendo
limktoinfty|ak+1ak| = limktoinftyx^4(2k+3)(2k+2) = 0 < 1,
para todo x. Isso mostra que o raio de convergência é infinito, ou seja, xin(-infty,infty).

Resposta

f(x)=sumk=0^infty(-1)^kx^4k+3(2k+1)!,(4k+3), xin(-infty,infty)

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