QuestĂŁo 36: Verifique o teorema de Stokes, calculando a integral de linha e a integral de superfĂ­cie para o campo $ \vec{F} $ e a superfĂ­cie F .
$ \vec{F}(x, y, z)=(2 z, x, 3 y)$, e S a porção do plano F(x, y, z)=(2 z, x, 3 y), contida no cilindro S, sendo $ \vec{n} $ tal que $ \vec{n} \cdot \vec{k}>0 $

Passo 1

Resumo do problema: temos o campo vetorial vec F(x,y,z)=(2z,,x,,3y) e a superfície S é a porção do plano x - z = 0 contida no cilindro x^2 + y^2 = 4, com orientação tal que vec ncdotvec k>0. Nosso objetivo é verificar o teorema de Stokes, ou seja, calcular 1) a integral de superfície integral duplaS (nablatimesvec F)cdotvec n,dS e 2) a integral de linha ointC vec Fcdot dvec r ao longo do contorno C=partial S.

Passo 2

Calculamos o rotacional de vec F pela definição:
nablatimesvec F=(partial Rpartial y-partial Qpartial z,;partial Ppartial z-partial Rpartial x,;partial Qpartial x-partial Ppartial y),
onde P=2z, Q=x, R=3y. Substituindo, obtemos:
nablatimesvec F=(3,2,1)

Passo 3

Parametrizamos a superfície S por
vec r(x,y)=(x,,y,,x),
com (x,y) em x^2+y^2<=4. Os vetores tangentes são
vec rx=(1,0,1), vec ry=(0,1,0),
e o vetor normal orientado é
vec rxtimesvec ry=(-1,0,1),
que satisfaz
(-1,0,1)cdot(0,0,1)=1>0
como exigido. Logo o elemento de área orientado é
vec n,dS=(vec rxtimesvec ry),dx,dy=(-1,0,1),dx,dy

Passo 4

Calculamos a integral de superfície:
(nablatimesvec F)cdot(vec rxtimesvec ry)=(3,2,1)cdot(-1,0,1)=-3+1=-2
Então
integral duplaS(nablatimesvec F)cdotvec n,dS=integral duplax^2+y^2<=4(-2),dx,dy=-2cdotpicdot2^2=-8pi

Passo 5

Parametrizamos a curva de contorno C como interseção do plano e do cilindro:
vec r(t)=(2cos t,,2sin t,,2cos t), tin[0,2pi]
Essa parametrização gera orientação anti-horária vista de cima, compatível com vec n.

Passo 6

Calculamos a integral de linha:
dvec r=(-2sin t,2cos t,-2sin t),dt, vec F(vec r(t))=(4cos t,2cos t,6sin t)
O produto escalar é
vec Fcdot dvec r=-8sin tcos t+4cos^2 t-12sin^2 t
Integrando de 0 a 2pi e usando identidades trigonométricas obtemos
ointCvec Fcdot dvec r=-8pi

Passo 7

Como ambas as integrais resultaram em -8pi, confirmamos que o teorema de Stokes vale para este campo e esta superfície.

Resposta

As duas integrais são iguais a -8pi, confirmando o teorema de Stokes.

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