QuestĂŁo 36: Verifique o teorema de Stokes, calculando a integral de linha e a integral de superfĂcie para o campo $ \vec{F} $ e a superfĂcie
.
$ \vec{F}(x, y, z)=(2 z, x, 3 y)$, e
a porção do plano
, contida no cilindro
, sendo $ \vec{n} $ tal que $ \vec{n} \cdot \vec{k}>0 $
$ \vec{F}(x, y, z)=(2 z, x, 3 y)$, e
Passo 1
Resumo do problema: temos o campo vetorial
e a superfície
é a porção do plano
contida no cilindro
, com orientação tal que
. Nosso objetivo é verificar o teorema de Stokes, ou seja, calcular 1) a integral de superfície
e 2) a integral de linha
ao longo do contorno
.
Passo 2
Calculamos o rotacional de
pela definição:
onde
,
,
. Substituindo, obtemos:
Passo 3
Parametrizamos a superfície
por
com
em
. Os vetores tangentes são
e o vetor normal orientado é
que satisfaz
como exigido. Logo o elemento de área orientado é
Passo 4
Calculamos a integral de superfície:
Então
Passo 5
Parametrizamos a curva de contorno
como interseção do plano e do cilindro:
Essa parametrização gera orientação anti-horária vista de cima, compatível com
.
Passo 6
Calculamos a integral de linha:
O produto escalar é
Integrando de
a
e usando identidades trigonométricas obtemos
Passo 7
Como ambas as integrais resultaram em
, confirmamos que o teorema de Stokes vale para este campo e esta superfície.
Resposta
As duas integrais são iguais a
, confirmando o teorema de Stokes.