Usando a propriedade (6) encontre a derivada das funções abaixo
y=raizxx^2+1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y = raizxx^2+1 usando a propriedade (6), que é a regra do quociente. Vamos usar também a derivada de potência para raizx = x^1/2.

Passo 2

Definimos f(x) = raizx = x^1/2. Aplicando a regra de potência, sua derivada é
f'(x) = tfrac12 x^-1/2 = 12raizx

Passo 3

Definimos g(x) = x^2+1. A derivada de x^2 é 2x e de constante 1 é zero, logo
g'(x) = 2x

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente:
l(tfracfgr)' = f',g - f,g'g^2
Substituindo f,f',g,g':
y' = 12raizx(x^2+1) - raizx,(2x)(x^2+1)^2

Passo 5

Para simplificar, colocamos os termos sobre um denominador comum 2raizx: o primeiro já tem esse denominador, e o segundo vira
2xraizx = 2xraizx cdot 2raizx2raizx = 4x^22raizx
Assim o numerador fica
x^2+1 - 4x^22raizx = 1 - 3x^22raizx
Logo
y' = 1 - 3x^22raizx,(x^2+1)^2

Resposta

y' = 1 - 3x^22raizx,(x^2+1)^2

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