Desenvolver e calcular:
\sum_{i=1}^{4} \sum_{j=1}^{5} i^{2}

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver e calcular a soma dupla
\sum_{i=1}^{4}\sum_{j=1}^{5}i^{2}.
O conteúdo envolvido é manipulação de somatórios iterados e uso da fórmula da soma de quadrados. Vamos primeiro interpretar a soma interna em j e depois a soma externa em i.

Passo 2

Observe que o termo interno i^{2} não depende de j. Logo
\sum_{j=1}^{5}i^{2}
é simplesmente a soma de cinco parcelas iguais a i^{2}. Portanto, para cada i,
\sum_{j=1}^{5}i^{2}=5\,i^{2}.

Passo 3

Substituindo esse resultado na soma externa, obtemos
\sum_{i=1}^{4}\sum_{j=1}^{5}i^{2} =\sum_{i=1}^{4}5\,i^{2} =5\sum_{i=1}^{4}i^{2}.
Agora precisamos calcular \sum_{i=1}^{4}i^{2}.

Passo 4

Podemos usar a fórmula fechada
\sum_{i=1}^{n}i^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Para n=4,
\sum_{i=1}^{4}i^{2} =\frac{4\cdot5\cdot9}{6} =\frac{180}{6} =30.
Logo
5\sum_{i=1}^{4}i^{2} =5\cdot30 =150.

Resposta

150

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