Desenvolver e calcular:
\sum_{j=1}^{2} \sum_{i=1}^{5}(i-j)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma dupla
\sum_{j=1}^{2}\sum_{i=1}^{5}(i - j).
O conteúdo aqui é manipular somatórios finitos usando a linearidade da soma e a fórmula da soma dos primeiros inteiros.

Passo 2

Para um j fixo, separamos a soma interna em duas somas conhecidas:
\sum_{i=1}^{5}(i - j) = \sum_{i=1}^{5}i \;-\;\sum_{i=1}^{5}j.
Como \sum_{i=1}^{5}i = \tfrac{5\cdot6}{2} = 15 e \sum_{i=1}^{5}j = 5j, temos
\sum_{i=1}^{5}(i - j) = 15 - 5j.

Passo 3

Substituímos no somatório externo e aplicamos linearidade novamente:
\sum_{j=1}^{2}(15 - 5j) = \sum_{j=1}^{2}15 \;-\;5\sum_{j=1}^{2}j.

Passo 4

Calculamos cada parcela:
\sum_{j=1}^{2}15 = 2\cdot15 = 30, \qquad \sum_{j=1}^{2}j = 1 + 2 = 3.
Portanto,
\sum_{j=1}^{2}(15 - 5j) = 30 - 5\cdot3 = 30 - 15 = 15.

Resposta

15

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