Desenvolver em série de potência a seguinte função e achar o seu campo de convergência.
f(x)=\frac{1}{x^{2}-x-6}
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de potência de
f(x)=\frac{1}{x^{2}-x-6}
em torno de x=0 e o campo de convergência. Vamos usar frações parciais para escrever f(x) como soma de funções da forma 1/(1-u) e então aplicar séries geométricas.
Passo 2
Factorizando o denominador:
x^{2}-x-6=(x-3)(x+2).
Procuramos constantes A\) e \(B\) tais que
\[\frac{1}{(x-3)(x+2)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+2}.
Isto leva ao sistema
\begin{cases} A+B=0,\\\\ 2A-3B=1, \end{cases}
cuja solução é A=\tfrac{1}{5}\] e \(B=-\tfrac{1}{5}. Logo