Desenvolver em série de potência a seguinte função e achar o seu campo de convergência.
f(x)=\frac{1}{x^{2}-x-6}

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potência de
f(x)=\frac{1}{x^{2}-x-6}
em torno de x=0 e o campo de convergência. Vamos usar frações parciais para escrever f(x) como soma de funções da forma 1/(1-u) e então aplicar séries geométricas.

Passo 2

Factorizando o denominador:
x^{2}-x-6=(x-3)(x+2).
Procuramos constantes A\) e \(B\) tais que \[\frac{1}{(x-3)(x+2)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+2}.
Isto leva ao sistema
\begin{cases} A+B=0,\\\\ 2A-3B=1, \end{cases}
cuja solução é A=\tfrac{1}{5}\] e \(B=-\tfrac{1}{5}. Logo
f(x)=\frac{1}{x^{2}-x-6} =\frac{1}{5}\,\frac{1}{x-3}-\frac{1}{5}\,\frac{1}{x+2}.

Passo 3

Reescrevemos cada termo como série geométrica válida em torno de x=0:
  1. Para \frac{1}{x-3}:
    escrevemos
\frac{1}{x-3} =-\frac{1}{3}\,\frac{1}{1-\tfrac{x}{3}} =-\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{x}{3}\Bigr)^{n},
que converge se \bigl|\tfrac{x}{3}\bigr|<1.
  1. Para \frac{1}{x+2}:
    escrevemos
\frac{1}{x+2} =\frac{1}{2}\,\frac{1}{1+\tfrac{x}{2}} =\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\bigl(-\tfrac{x}{2}\bigr)^{n},
que converge se \bigl|\tfrac{x}{2}\bigr|<1.

Passo 4

Substituindo em f(x) e combinando:
f(x) =\frac{1}{5}\Biggl[-\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{x}{3}\Bigr)^{n} -\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\bigl(-\tfrac{x}{2}\bigr)^{n}\Biggr] =\sum_{n=0}^{\infty}\Biggl(-\frac{1}{15\cdot3^{n}}-\frac{(-1)^{n}}{10\cdot2^{n}}\Biggr)x^{n}.
Podemos reorganizar o coeficiente de x^n como
a_{n} =\frac{(-1)^{n+1}}{5\cdot2^{\,n+1}} -\frac{1}{5\cdot3^{\,n+1}}.
Assim
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{(-1)^{n+1}}{5\cdot2^{\,n+1}} -\frac{1}{5\cdot3^{\,n+1}}\Bigr)x^{n}.

Passo 5

Cada soma geométrica converge para \lvert x\rvert<3 e \lvert x\rvert<2. O campo de convergência comum é
|x|<2,
pois o polo mais próximo de 0 está em x=-2.

Resposta

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{(-1)^{n+1}}{5\cdot2^{n+1}} -\frac{1}{5\cdot3^{n+1}}\Bigr)\,x^{n}, \quad |x|<2.

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