Determine:
(x+2)^{4}

Passo 1

O problema pede para expandir o binômio (x+2)^{4}. O conteúdo aqui é o Teorema do Binômio, que diz como escrever (a+b)^{n} como soma de termos com coeficientes binomiais.

Passo 2

O Teorema do Binômio afirma que, para inteiros n\ge0,
(a+b)^{n} \;=\;\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\,a^{\,n-k}b^{\,k}.
No nosso caso, a = x, b = 2 e n = 4.

Passo 3

Vamos calcular cada termo \binom{4}{k}x^{4-k}2^{k} para k=0,1,2,3,4:
\binom{4}{0}x^{4}2^{0} = 1\cdot x^{4}\cdot1 = x^{4},
\binom{4}{1}x^{3}2^{1} = 4\cdot x^{3}\cdot2 = 8x^{3},
\binom{4}{2}x^{2}2^{2} = 6\cdot x^{2}\cdot4 = 24x^{2},
\binom{4}{3}x^{1}2^{3} = 4\cdot x\cdot8 = 32x,
\binom{4}{4}x^{0}2^{4} = 1\cdot1\cdot16 = 16.

Passo 4

Somando todos os termos obtidos, temos
(x+2)^{4} = x^{4} + 8x^{3} + 24x^{2} + 32x + 16.

Resposta

(x+2)^{4} = x^{4} + 8x^{3} + 24x^{2} + 32x + 16.

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