Determine o intervalo de convergência da série seguinte:
\sum_{n \geq 1}(-1)^{n+1} \frac{(x-5)^{n}}{n * 5^{n}}
\qquad

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{(x-5)^{n}}{n\,5^{n}}.
Aqui o centro é x_{0}=5 e queremos achar o raio de convergência e depois testar os extremos.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão à série absoluta
a_{n}=\frac{\lvert x-5\rvert^{n}}{n\,5^{n}}.
Calculemos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\lvert x-5\rvert^{n+1}}{(n+1)\,5^{n+1}} \cdot\frac{n\,5^{n}}{\lvert x-5\rvert^{n}} =\frac{\lvert x-5\rvert}{5}\,\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} =\frac{\lvert x-5\rvert}{5}.
Para convergência absoluta precisamos de
\frac{\lvert x-5\rvert}{5}<1 \quad\Longrightarrow\quad \lvert x-5\rvert<5.

Passo 3

Do teste da razão obtemos o raio de convergência R=5. Logo, a série converge absolutamente para
5-5<x<5+5 \quad\Longrightarrow\quad 0<x<10.

Passo 4

Agora testamos os extremos:
Para x=0, o termo geral vira
(-1)^{n+1}\frac{(0-5)^{n}}{n\,5^{n}} =(-1)^{n+1}\frac{(-5)^{n}}{n\,5^{n}} =-\frac{1}{n},
e a série \sum -\tfrac1n diverge (série harmônica).
Para x=10, o termo geral é
(-1)^{n+1}\frac{(10-5)^{n}}{n\,5^{n}} =(-1)^{n+1}\frac{5^{n}}{n\,5^{n}} =\frac{(-1)^{n+1}}{n},
que é a série harmônica alternada e converge (pelo teste de Leibniz).

Resposta

O intervalo de convergência é
\boxed{(0,10]}.

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