Verifique se as seguintes E.D.O’s são exatas. Se não forem exatas, determine seu fator integrante e sua solução;
(1)
(1)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a E.D.O.
é exata e, em caso negativo, encontrar um fator integrante e a solução geral. O conteúdo envolvido é teoria de E.D.O. exatas e fatores integrantes dependentes de uma única variável.
Passo 2
Seja
Calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
que dependa só de
. A condição é
que depende apenas de
. Logo
Passo 4
Multiplicamos a E.D.O. por
:
Agora
e
logo a equação é exata.
Passo 5
Buscamos uma função potencial
tal que
Integrando a primeira em
:
Derivando em
e igualando a
dá
logo
é constante.
Resposta
A solução implícita é