Verifique se as seguintes E.D.O’s são exatas. Se não forem exatas, determine seu fator integrante e sua solução;
(1) (x+y) d x+x ln (x) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a E.D.O.
(x+y),dx + xln(x),dy = 0
é exata e, em caso negativo, encontrar um fator integrante e a solução geral. O conteúdo envolvido é teoria de E.D.O. exatas e fatores integrantes dependentes de uma única variável.

Passo 2

Seja
M(x,y) = x + y, N(x,y) = xln(x)
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y = 1, partial Npartial x = ln(x) + 1
Como 1 neq ln(x)+1, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu que dependa só de x. A condição é
partial Mpartial y-partial Npartial xN = 1 - (ln(x)+1)xln(x) = -ln(x)xln(x) = -1x,
que depende apenas de x. Logo
mu(x) = expl(integral -tfrac1x,dxr) = exp(-ln(x)) = x^-1

Passo 4

Multiplicamos a E.D.O. por mu(x)=1/x:
l(x+yxr),dx + xln(x)x,dy = 0 Longrightarrow l(1 + yxr),dx + ln(x),dy = 0
Agora
widetilde M(x,y) = 1 + yx, widetilde N(x,y) = ln(x),
e
partialwidetilde Mpartial y = 1x, partialwidetilde Npartial x = 1x,
logo a equação é exata.

Passo 5

Buscamos uma função potencial F(x,y) tal que
partial Fpartial x = 1 + yx, partial Fpartial y = ln(x)
Integrando a primeira em x:
F(x,y) = integrall(1 + yxr),dx = x + yln(x) + h(y)
Derivando em y e igualando a ln(x)
partial Fpartial y = ln(x) + h'(y) = ln(x) Longrightarrow h'(y)=0,
logo h(y) é constante.

Resposta

A solução implícita é
x + yln(x) = C

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