O desenvolvimento de uma transformação matricial é elaborado a partir de protocolos e rotinas que estruturam relações entre valores, vetores e matrizes. Desta forma, é necessário que o pesquisador compreenda alguns aspectos e propriedades essenciais a estas transformações.
Deste modo, a partir do conteúdo mencionado pelo texto-base, avalie as seguintes afirmações:
I. As transformações matriciais são operadas apenas em matrizes de dimensões iguais.
II. É possível realizar uma transformação destacada a partir de um espaço R^{2} para um espaço R^{3}.
III. As funções operam valores reais, ao passo que os vetores são operados por transformações.
É correto o que se afirma em:
Passo 1
O enunciado pede para avaliar três afirmações sobre transformações matriciais, usando conceitos de correspondência entre espaços vetoriais e dimensões de matrizes. Vamos analisar cada afirmação com base na definição de transformação linear T\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m dada por uma matriz A\in\mathbb{R}^{m\times n}.
Passo 2
Análise da afirmação I: “As transformações matriciais são operadas apenas em matrizes de dimensões iguais.”
Para multiplicar matrizes A\in\mathbb{R}^{m\times n} e B\in\mathbb{R}^{p\times q} é preciso que n=p, mas não exige m=q. Além disso, uma transformação pode mapear vetores de \mathbb{R}^n em \mathbb{R}^m com m\neq n. Logo, a afirmação I é falsa.
Passo 3
Análise da afirmação II: “É possível realizar uma transformação destacada a partir de um espaço \mathbb{R}^2 para um espaço \mathbb{R}^3.”
Basta escolher uma matriz A\in\mathbb{R}^{3\times 2}. Por exemplo,
que define T(x,y) = (x, y, x-y)\in\mathbb{R}^3. Portanto, a afirmação II é verdadeira.
Passo 4
Análise da afirmação III: “As funções operam valores reais, ao passo que os vetores são operados por transformações.”
Isso confunde conceito de funções e transformações lineares: uma transformação é ela própria uma função (mapeia vetores em vetores ou escalares). Funções podem agir sobre vetores e valores reais, e vetores podem ser imagem de funções. A afirmação é imprecisa e, no contexto de transformações matriciais, é considerada falsa.